《单调性与最大(小)值》教学设计
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约16360字。
1.3.1 单调性与最大(小)值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化和提高:给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案(一)
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t 0分钟 20分钟 60分钟 8~9小时 1天 2天 6天 一个月
记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%
观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象)
图1-3-1-1
学生:先思考或讨论,回答:记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:提示、点拨,并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x,二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
③如何理解图象是上升的?
④对于二次函数y=x2,列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?
⑥增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?
⑦增函数的定义中,“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?
⑧增函数的几何意义是什么?
⑨类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
⑩函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?
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