《指数函数》复习教案
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约6720字。
§3 指数函数
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%,那么,2008年奥运年的GDP可望为2000年的多少倍?在2001~2020年,各年的GDP可望为2000年的多少倍?此问题用到了什么函数模型?
高手支招之1—细品教材
一、对指数函数的定义的理解
1.指数函数的定义:函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
2.疑难分析:
1.指数函数的定义域为什么是全体实数?
因为指数概念已经从整数扩充到有理数和无理数,所以,当a>0,x是一个实数时,表示一个确定的实数,即对任意实数x都有意义,因此指数函数的定义域是R.
2.在指数函数中,为什么要规定a>0,且a≠1呢?
因为若a=0,则①当x>0时, 恒等于0,②当x<0时, 无意义;若a<0,如 ,这时对于x= ( ),在实数范围内函数值不存在;若a=1,y=1 =1为常量,它就没有研究的必要,所以为了避免上述各种情况,我们规定了a>0,且a≠1.
3.指数函数解析式的特征: 的系数是1,a为常量,x为自变量.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,例如 ;有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,例如 ,因为这可等价划归为
【例】指出下列函数中那些是指数函数:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;
(5) ; (6) (7) (8)
解:根据指数函数的定义进行判断.(1)(5)(8)为指数函数;
⑵式的变量不再指数的位置,故不是指数函数;
⑶ 中函数的右边是-1与 的乘积,所以不是指数函数;
⑷中底数-4<0,所以不是指数函数;
(6)中指数不是自变量x,而是x的函数 ;
⑺中底数x不是常数;
它们都不符合指数函数的定义.
二、对指数函数 和 的图像和性质的理解
1.两个函数图像的相同点:
都位于x轴的上方,都过点(0,1).
2.两个函数图像的不同点:
函数 的图像是上升的,函数 的图像是下降的.
3.两个函数的性质:
定义域都是实数集R,函数值都大于0;都过点(0,1);函数 是R上的增函数,函数 是R上的减函数.
4. 正整数指数函数 ( )与指数函数 (x∈R)的区别:
都是增函数,但它们的图像不同, 函数 ( )的图像是一群孤立的点,这些点都在指数函数 (x∈R)的图像上。
三、对指数函数的图像和性质的理解
1.指数函数的图像
0<a<1 a>1
2.指数函数的性质
① 指数函数的定义域为( ),值域为 ,且过(0,1)点.
② 当底数a>1时,指数函数为增函数,当底数0<a<1时,指数函数为减函数.
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