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约2840字。

　　2011届高三数学新题
　　福建上杭一中  林文柱
　　1、已知随机变量 满足下列分布列
　　cosB sinC
　　P cos2A sin(B+C)
　　其中A、B、C为锐角三角形的三个内角。
　　（1）求A   （2）求 的取值范围
　　【答案】（1）
　　（2）
　　∴
　　3、设方程3tan2πx－4tanπx＋3＝0在[n－1，n)(n∈N*)内的所有解之和为an．
　　（1）求a1、a2的值，并求数列{an}的通项公式；
　　（2）设数列{bn}满足条件：b1＝2， ，求证：　12b1－3＋12b2－3＋…＋12bn－3＜2．
　　【解题指导】方程3tan2πx－4tanπx＋3＝(3tanπx－1)(tanπx－3)＝0
　　得tanπx＝33或tanπx＝3
　　（1）当n＝1时，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)
　　由tanπx＝33，或tanπx＝3得πx＝π6或πx＝π3    故a1＝16＋13＝12；………………2分
　　当n＝2时，x∈[1，2)，则πx∈[π，2π)    由tanπx＝33或tanπx＝3，得πx＝7π6或πx＝        
　　故a1＝76＋43＝52…当x∈[n－1，n)时，πx∈[(n－1)π，nπ)
　　由tanπx＝33，或tanπx＝3得πx＝π6＋(n－1)π或πx＝π3＋(n－1)π
　　得x＝16＋(n－1)或x＝13＋(n－1)，故an＝16＋(n－1)＋13＋(n－1)＝2n－32………6分
　　（2）由（1）得 ＝2bn－32…即bn＋1－32≥abn＝2(bn－32)≥22(bn－1－32)≥…≥2n(b1－32)＝2n－1＞0
　　则1 bn＋1－32≤12n－1，即12bn＋1－3≤12n，∴12b1－3＋12b2－3＋…＋12bn－3≤1＋12＋…＋12n－1＝2－12n－1＜2．……13分
　　4、已知，已知椭圆 : 的一个焦点 （1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
　　（1）求椭圆 的方程；
　　（2）过焦点 作x轴的垂线交椭圆上半部分于点P，A、B是椭圆C上的两个动点，如果直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，可以证明直线AB的斜率为定值，并求这个定值。
　　（3）探究这个不变的斜率与定点P的坐标关系，并说明这个定值的几何意义（不必证明）
　　【解题指导】（1）因为椭圆 的一个焦点是（1，0），所以半焦距 =1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以 ，解得 所以椭圆的标准方程为 .  …（4分）
　　（2）由（1）得P ，设直线PA方程为： ，代入 得
　　设A ，B ，∵点P 在椭圆上，∴ ， 
　　由于直线PA与PB的倾斜角互补即直线PA的斜率与PB的斜率互为相反数，在上式以 代 ，可得