2010年部分省市中考数学试题分类汇编——压轴题（共6份）
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2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(一).doc
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(二).doc
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(六).doc
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(三).doc
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(四).doc
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2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(一)
24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是 上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若 ＝4 ，求△ABC的周长.
【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝ ，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知 ＝ DE (AB＋AC＋BC)，又因为 ，所以 ，所以AB＋AC＋BC＝ ，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝ DH＝ DE，同理可得CG＝ DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝ DE＋ ，可得 ＝ DE＋ ，解得：DE＝ ，代入AB＋AC＋BC＝ ，即可求得周长为 ．
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝ OP＝ ，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝ ＝ ＝ ，∴AB＝2AF＝ ．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝ ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝ AB•DE＋ BC•DH＋ AC•DG＝ (AB＋BC＋AC) •DE＝ l•DE．
∵ ＝4 ，∴ ＝4 ，∴l＝8 DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝ ∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝ ＝ ＝ DE，∴CH＝CG＝ DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2 ＋2 DE＝8 DE，解得DE＝ ，
∴△ABC的周长为 ．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝
若直线经过点B（3，1）时，则b＝
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图25-a，
此时E（2b，0）
∴S＝ OE•CO＝ ×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2
此时E（3， ），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)•( )＋ ×3( )]＝
2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(四)
23．(安徽省)如图，已知 ，相似比为k（k>1），且 的三边长分别为a、b、c（a>b>c）， 的三边长分别为 、 、 .
（1）若c=a1，求证：a=kc；
[证]
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对 ，使得a、b、c和 、 、 都是正整数，并加以说明；
[解]
（3）若b=a1，c=b1，是否存在 使得k=2？请说明理由.
[解]
解:（1）证： ，且相似比为
又 （3分）
（2）解：取 （8分）
此时 且 （10分）
注：本题也是开放型的，只要给出的 和 符合要求就相应赋分.
（3）解：不存在这样的 和 .理由如下：
若 则
又 ，
（12分）
，而
故不存在这样的 和 ，使得 （14分）
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下 的情况不可能即可.
24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
（2）设矩形沿直线 向右下方翻折后， 、 的对应点为 .
，
.
.
[此时需说明 ]. 6分
设二次函数解析式为：
抛物线经过 、 、 .
得到 解得
. 9分
（3）能，可以在直线 上找到 点，连接 .
由于 、 在一条直线上，故 的和最小，
由于 为定长，所以满足 周长最小. 10分
设直线 的解析式为：
.
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