高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示学案（打包25套）新人教A版必修4
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　　2．3.1　平面向量基本定理
　　1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．
　　2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．
　　1．平面向量基本定理
　　如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．
　　(1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.
　　(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
　　【做一做1】 在平面四边形MNPQ中，下列一定可以作为该平面的一组基底的是(　　)
　　A.MN→与MP→  B.MN→与QP→
　　C.MQ→与PN→  D.QN→与NQ→
　　2．向量的夹角
　　(1)定义：两个非零向量a和b，且OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a和b的夹角(如图所示)，范围是____________．当θ＝0°时，向量a和b______；当θ＝180°时，向量a和b______.
　　(2)垂直：如果向量a和b的夹角是______，我们就说向量a与b垂直，记作__________．
　　【做一做2】 在等边三角形ABC中，AB→与BC→的夹角等于(　　)
　　A．60° B．90° C．120° D．150°
　　答案：1．不共线　λ1e1＋λ2e2　基底
　　【做一做1】 A　由于QN→∥NQ→，则不能作为基底，所以选项D不能作为基底；当四边形
　　2．3.3　平面向量的坐标运算
　　1．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算．
　　2．会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标．
　　3．能借助于向量坐标，用已知向量表示其他向量．
　　平面向量的坐标运算
　　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
　　文字描述 符号表示
　　加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a＋b＝__________
　　减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a－b＝__________
　　数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________ λa＝__________
　　向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝______________
　　【做一做1－1】 已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于(　　)
　　A．(－3,2)  B．(3，－2) C．(－3，－2)  D．(－2，－3)
　　【做一做1－2】 已知MN→＝(－1,2)，则－3MN→等于(　　)
　　A．(－3，－3) B．(－6,3) C．(3，－6) D．(－4，－1)
　　【做一做1－3】 已知a＝(3,1)，b＝(－2,5)，则a＋b等于(　　)
　　A．(－6,5)  B．(1,6) C．(5，－4)  D．(7,7)
　　答案：和　(x1＋x2，y1＋y2)　差　(x1－x2，y1－y2)　相应坐标　(λx1，λy1)　(x2－x1，y2－y1)
　　【做一做1－1】 C
　　【做一做1－2】 C
　　【做一做1－3】 B
　　平面向量坐标运算规律
　　剖析：(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用．
　　(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．
　　2.3  平面向量的基本定理及坐标表示 2
　　预习导航
　　课程目标 学习脉络
　　1.理解平面向量的坐标的概念；
　　2．会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.
　　1．平面向量的正交分解
　　把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
　　2．平面向量的坐标表示
　　(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
　　(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．
　　(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
　　(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
　　思考1由向量的坐标定义知，当且仅当两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足什么条件时相等？
　　提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.
　　3．向量与坐标的关系
　　设 ＝xi＋yj，则向量 的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
　　思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？
　　2.3  平面向量的基本定理及坐标表示
　　知识梳理
　　一、平面向量基本定理
　　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中的不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.
　　二、向量的夹角
　　两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.
　　三、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算
　　1.平面向量的正交分解
　　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
　　2.向量的坐标
　　平面内的任意向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.
　　3.和与差的坐标运算
　　两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
　　已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).
　　4.实数与向量积的运算
　　实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
　　已知向量a=(x1,y1),则λa=(λx1,λy1).
　　5.向量的坐标与端点坐标的换算
　　一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.