《基本不等式》导学案

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约3140字。

  高二数学必修五第四节:基本不等式
  导学案
  学习目标:1.理解基本不等式    的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“均值不等式”及其推导过程。
  2. 理解利用基本不等式      证明不等式的方法
  学习重点、难点:
  1. 应用数形结合的思想理解基本不等式
  2. 理解利用基本不等式    证明不等式的方法
  3. 利用几何特征粗象出代数不等式,利用代数不等式构造几何模型
  学法指导:启发式教学法
  知识链接:
  问题1:若a、b∈R,则代数式a2+b2与2ab有何大小关系?
  提示:∵(a2+b2)-2ab=(a-b)2≥0.
  ∴a2+b2≥2ab.
  问题2:上述结论中,“=”号何时成立?
  提示:当且仅当a=b时成立.
  问题3:若以a,b分别代替问题1中的a,b,可得出什么结论?
  提示:a+b≥2ab.
  问题4:问题3的结论中,“=”何时成立?
  提示:当且仅当a=b时成立.
  [导入新知]
  1.重要不等式
  当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
  2.基本不等式
  1.有关概念:当a,b均为正数时,把a+b2叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.
  2.不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab≤a+b2,当且仅当a=b时,等号成立.
  (3)变形:ab≤a+b22,a+b≥2 ab(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
  [化解疑难]
  1.基本不等式成立的条件:a>0且b>0;其中等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时,则 ab≠a+b2,即只能有ab<a+b2.
  2.从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中

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