北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）高考中的圆锥曲线问题（2份打包）
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1．若双曲线x2a2－y23＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )
A．1 B．2
C．3 D．6
答案 B
解析 双曲线x2a2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3ax，即3x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，
由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝22－12＝3，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线x2a2－y23＝1的渐近线3x－ay＝0的距离为d＝|3×2－a×0|3＋a2＝233＋a2，所以233＋a2＝3，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.
2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→•OB→等于( )
A.34 B．－34
C．3 D．－3
答案 B
解析 方法一 (特殊值法)
抛物线的焦点为F12，0，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(12，1)，B(12，－1)，
∴OA→•OB→＝12，1•12，－1＝14－1＝－34.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→•OB→＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：
x1x2＝p24＝14，y1y2＝－p2＝－1.
∴OA→•OB→＝14－1＝－34.
3．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A．4＋23 B.3－1
C.3＋12 D.3＋1
答案 D
解析 因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，
△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3c－c＝2a，
所以e＝ca＝23－1＝3＋1，故选D.
4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．
答案 x24－y23＝1
解析 由题意得，双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的焦点坐标为(7，0)，(－7，0)，c＝7；且双曲线的离心率为2×74＝72＝ca⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，
双曲线的方程为x24－y23＝1.
5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)与抛物线y2＝2px (p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为____________．
答案 2－1
解析
因为抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F为p2，0，设椭圆另一焦点为E.
当x＝p2时代入抛物线方程得y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以Pp2，p且PF⊥OF.
所以|PE|＝ (p2＋p2)2＋p2＝2p，
|PF|＝p，|EF|＝p.
故2a＝ 2p＋p,2c＝p，e＝2c2a＝2－1.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 (2015•天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.x29－y213＝1 B.x213－y29＝1
C.x23－y2＝1 D．x2－y23＝1
答案 D
解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±bax，
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