北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）第六章 数 列（8份打包）
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1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1 > an 其中n∈N＋
递减数列 an＋1 < an
常数列 an＋1＝an
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示成an＝f(n)，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ S1 (n＝1)，Sn－Sn－1 (n≥2).
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
(6)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.( √ )
1．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，…，下面各数中是此数列中的项的是( )
A.135 B.142 C.148 D.154
答案 B
2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )
A．an＝4n－7 B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
答案 C
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．49 D．64
答案 A
解析 ∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时符合上式，
∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.
4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .
答案 5n－4
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .
求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d.
②等比数列的前n项和公式
(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；
(ⅱ)当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；
②1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1；
③1n＋n＋1＝n＋1－n.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(6)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( √ )
(2)当n≥2时，1n2－1＝12(1n－1－1n＋1)．( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( × )
(4)数列{12n＋2n－1}的前n项和为n2＋12n.( × )
(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ )
1．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1n(n＋1)，则S5等于( )
A．1 B.56
C.16 D.130
答案 B
解析 ∵an＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1•(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
A．200 B．－200 C．400 D．－400
答案 B
解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
3．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项的和为( )
A．120 B．70
C．75 D．100
答案 C
解析 因为Snn＝n＋2，所以Snn的前10项和为10×3＋10×92＝75.
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为Sn＝________.
答案 2n＋1－2＋n2
解析 Sn＝2(1－2n)1－2＋n(1＋2n－1)2＝2n＋1－2＋n2.
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