2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第7章 不等式
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第七章 7.1.pptx
第七章 7.2.pptx
第七章 7.3.pptx
第七章 7.4.pptx
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法a－b>0⇔a > ba－b＝0⇔a ＝ ba－b<0⇔a < b (a，b∈R)；
(2)作商法ab>1⇔a > bab＝1⇔a ＝ bab<1⇔a < b (a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔b<a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
可乘性 a>bc>0⇒ac>bc
注意c的符号
a>bc<0⇒ac<bc
同向可
加性 a>bc>d⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正
可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd
⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a<1b.
②a<0<b⇒1a<1b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．
②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)1a>1b⇔a<b(ab≠0)．( × )
(3)a>b，c>d⇒ac>bd.( × )
(4)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × )
(5)若a3>b3且ab<0，则1a>1b.( √ )
1．设a<b<0，则下列不等式中不成立的是( )
A.1a>1b B.1a－b>1a
C．|a|>－b D.－a>－b
答案 B
解析 由题设得a<a－b<0，所以有1a－b<1a成立，
即1a－b>1a不成立．
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，c<d⇒a－c>b－d；
②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；
③a>b>0⇒3a>3b；
④a>b>0⇒1a2>1b2.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．
(4)a2＋b22≥a＋b22 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )
(2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈(0，π2)的最小值等于4.( × )
(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．( × )
(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．( × )
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，
即xy≤(x＋y2)2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.1ab≤14 B.1a＋1b≤1
C.ab≥2 D．a2＋b2≥8
答案 D
解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，1ab≥14，选项A，C不成立；1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
3．若函数f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋2 B．1＋3
C．3 D．4
答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2(x－2)×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．
答案 25 m2
解析 设矩形的一边为x m，
则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，
∴y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
5．(教材改编)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
答案 116
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