2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第5章 平面向量
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第五章 高考专题突破二.docx
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1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )
(6)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．( √ )
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
1．已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )
A．8° B．44°
C．26° D．40°
答案 B
解析 ∵sin (－50°)＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0，
∴点P(sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．
又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.
又∵点P的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，
∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.
2．已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是( )
A.0，π4 B.π4，512π
C.512π，π2 D.π12，512π
答案 D
解析 由题意，得：OA→＝OC→＋CA→＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量OA→与圆相切时，向量OA→与向量OB→的夹角分别达到最大、最小值，故选D.
3．在△ABC中，AC•cos A＝3BC•cos B，且cos C＝55，则A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案 B
解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0°＜A，B＜90°，又cos C＝55，
故sin C＝255，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即tan A＋tan B1－tan Atan B＝－2，将tan B＝3tan A代入，得4tan A1－3tan2 A＝－2，∴tan A＝1或tan A＝－13，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B.
4．已知函数f(x)＝sinx＋π3－m2在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为( )
A．[－3，2] B．[3，2)
C．(3，2] D．[3，2]
答案 B
解析 如图，画出y＝sinx＋π3在[0，π]上的图象，当直线y＝m2与其有两个交点时，m2∈32，1，所以m∈[3，2)．
5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( )
A.－π2，－π4 B.－π4，π4
C.0，π2 D.π4，3π4
答案 A
解析 由函数为偶函数知φ＝π2＋kπ(k∈Z)．又因为0＜φ＜π，所以φ＝π2，所以y＝2cos ωx.由题意知函数的最小正周期为π，故ω＝2，所以y＝2cos 2x，经验证知选项A满足条件．故选A.
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