2017版数学（文）大一轮复习：空间图形的基本关系与公理
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约6760字。
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：0，π2.
3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.( × )
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )
(6)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案 C
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．
3．在如图所示的几何体中，AA′∥BB′∥CC′，则由A、B、C、A′、B′、C′六点可确定的平面个数为( )
A．5 B．8
C．11 D．12
答案 C
4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为( )
A．平行
B．异面
C．相交但不垂直
D．垂直
答案 A
解析 ∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C.又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C.∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1，同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C，∴PQ∥BD1.
5.如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝EFFG＝2323＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝GFBF＝232＝3，∴∠GBF＝60°.
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
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