天津市第一中学2015-2016学年高二数学(理)必修2期中复习练习卷

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约1560字。

  必修二 期中复习
  一、立体几何  (A)
  1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
  (1)证明:CD⊥平面PAE;
  (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
  (1)如图所示,连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5.
  又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE.
  ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.
  而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
  (2)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
  由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
  由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
  AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,
  因为sin∠PBA=PAPB,sin∠BPF=BFPB,所以PA=BF.
  由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.
  在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
  BG=AB2+AG2=25,BF=AB2BG=1625=855.于是PA=BF=855.
  又梯形ABCD的面积为S=12×(5+3)×4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为
  V=13×S×PA=13×16×855=128515.
  2.如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.
  (I)证明:         (II)求二面角 的平面角的余弦值.
  3.如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=22,M为BC的中点.
  (1)证明:AM⊥PM;
  (2)求二面角P-AM-D的大小.
  [解析]  (1)证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,
  ∵△PCD为正三角形,
  ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3.
  ∵平面PCD⊥平面ABCD,
  ∴PE⊥平面ABCD,而AM⊂平面ABCD,∴PE⊥AM.

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