2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练（课件+习题）专题30不等式选讲（不分文理，全国通用）（2份打包）
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第一部分 三 30
一、填空题
1．(2014•陕西理，15A)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．
[答案] 5
[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob中，由条件知直线ma＋nb＝5与圆a2＋b2＝5有公共点，
∴5m2＋n2≤5，∴m2＋n2≥5，
∴m2＋n2的最小值为5.
解法2：由柯西不等式：a2＋b2•m2＋n2≥ma＋nb，
∴m2＋n2≥55＝5.
2．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，8]
[解析] ∵|x－5|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，
∴|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，
要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，
应有a≤8.
3．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] {a∈R|a<0或a＝2}
[解析] 因为|x＋1|＋|x－3|≥4，所以由题意可得a＋4a≤4恒成立，因a<0时显然恒成立；当a>0时，由基本不等式可知a＋4a≥4，所以只有a＝2时成立，所以实数a的取值范围为{a∈R|a<0或a＝2}．
[方法点拨] 注意区分a<f(x)有(无)解与a<f(x)恒成立，设m≤f(x)≤M，则a<f(x)有解⇒a<M，a<f(x)恒成立⇒a<m.
a<f(x)无解⇒a≥M.
4．(2014•天津市十二区县重点中学联考)对于任意x∈R，满足(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x－4|＋|x－3|<a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则A∩(∁RB)＝________.
[答案] (1,2]
[解析] 求出集合A、B后利用集合运算的定义求解．对于任意x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a＝2或a<2，Δ＝4a－22＋16a－2<0，解得－2<a≤2，所以集合A＝(－2,2]．当不等式|x－4|＋|x－3|<a有解时，a>(|x－4|＋|x－3|)min＝1，所以解集为空集的所有实数a构成集合B＝(－∞，1]，则∁RB＝(1，＋∞)，
所以A∩(∁RB)＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]．
二、解答题
5．(文)(2015•河北省衡水中学一模)设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)>a.
(1)当a＝1时，解这个不等式；
(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.
[解析] (1)当a＝1时，原不等式变为|x＋3|＋|x－7|>10，
当x≥7时，x＋3＋x－7>10得x>7，
当－3<x<7时，x＋3－x＋7>10不成立．
当x≤－3时－x－3－x＋7>10得：x<－3
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>7}．
(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立．
∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg10＝1对任何x∈R都成立，
即lg(|x＋3|＋|x－7|)>a.
当且仅当a<1时，对任何x∈R都成立．
(理)(2015•昆明市质检)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|－a.
(1)若a＝1，求不等式f(x)>x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤a(x＋2)的解集为非空集合，求a的取值范围．
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