2016《创新设计》全国通用高考数学文科二轮专题复习（课件+仿真练）：选修系列（6份打包）
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1.(2015•陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO 交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.
(1)证明 因为DE为⊙O直径，
则∠BED＋∠EDB＝90°，
又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，
从而∠CBD＝∠BED，
又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，
所以∠CBD＝∠DBA.
(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，
又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD•AE，
即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.
2.(2015•全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小.
(1)证明 连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt △AEC中，由已知得，DE＝DC，
故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.
(2)解 设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE•BE，
所以x2＝12－x2，
即x4＋x2－12＝0.
可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
3.(2015•全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积.
(1)证明 由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(2)解 由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.
连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，
所以∠OAE＝30°.
因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.
因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，
1.设函数f (x)＝2|x－1|＋|x＋2|.
(1)求不等式f (x)≥4的解集；
(2)若不等式f (x)＜|m－2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)＝－3x，x≤－2，－x＋4，－2＜x≤1，3x，x＞1，令f(x)≥4，则x≤－2，－3x≥4或－2＜x≤1，－x＋4≥4或x＞1，3x≥4，解得x≤0或x≥43，
所以不等式f (x)≥4的解集是x|x≤0或x≥43.
(2)f (x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
所以f (x)≥f (1)＝3.
由于不等式f (x)＜|m－2|的解集是非空集合，
所以|m－2|＞3，解得m＜－1或m＞5，
即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞).
2.(2015•全国Ⅱ卷)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；
(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
证明 (1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，
(c＋d)2＝c＋d＋2cd，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.
因此a＋b＞c＋d.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2, 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得a＋b＞c＋d.
②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
3.(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2；
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