新课标人教版A必修四第二章平面向量 平面向量基本定理第5课时（教案+同步练习+学案+课件+素材）
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2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一、教学分析
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.
二、教学目标
1、知识与技能：
了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。
2、过程与方法：
初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3、情感态度与价值观：
通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
三、重点难点
教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.
教学难点:平面向量基本定理的运用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,课后训练
1．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
2．若D在△ABC的边BC上，且 ＝4 ＝r ＋s ，则3r＋s＝( )
A． B． C． D．
3．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等D．不确定
4．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，满足 ＝x ＋y ，则实数对(x，y)可以是( )
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c ＋a ＋b ＝0，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形
6．已知e1，e2是非零的不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋k2e2，且a∥b，则k＝__________．
7．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
8．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为__________．
§2.3.1平面向量基本定理
§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；
2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
复习1：向量 、 是共线的两个向量，则 、 之间的关系可以表示为.
复习2：给定平面内任意两个向量 、 ，请同学们作出向量 、 .
（二）自主探究：（预习教材P93—P96）
探究：平面向量基本定理
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如 的向量表示呢？
1.平面向量的基本定理:如果 , 是同一平面内两个的向量， 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数 使。其中，不共线的这两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的基底。
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量 ，作 ，则叫做向量 与 的夹角。如果 则 的取值范围是。当时，表示 与 同向；当时，表示 与 反向；当时，表示 与 垂直。记作： .在不共线的两个向量中， ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量 都可由__________唯一确定，我们把有序
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