高中数学选修一教案全集
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高中数学选修一教案全集
目录
目录 I
第一章 导数及其应用 1
§1.1.1变化率问题 1
导数与导函数的概念 4
§1.1.2导数的概念 6
§1.1.3导数的几何意义 9
§1.2.1几个常用函数的导数 13
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 16
§1.2.2复合函数的求导法则 19
§1.3.1函数的单调性与导数(2课时) 22
§1.3.2函数的极值与导数(2课时) 27
§1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时) 31
§1.4生活中的优化问题举例(2课时) 34
§1.5.3定积分的概念 38
第二章推理与证明 42
合情推理 42
类比推理 45
演绎推理 48
推理案例赏识 50
直接证明--综合法与分析法 52
间接证明--反证法 54
数学归纳法 56
第3章数系的扩充与复数的引入 67
§3.1数系的扩充和复数的概念 67
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 67
§3.1.2复数的几何意义 70
§3.2复数代数形式的四则运算 73
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 73
§3.2.2复数代数形式的乘除运算 77
第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标:
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:平均变化率的概念.
教学过程:
一.创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二.新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ,
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算:和的平均速度
在这段时间里,;
在这段时间里,
探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,
所以,
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念:
1.上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2.若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样)
3. 则平均变化率为
思考:观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
直线AB的斜率
三.典例分析
例1.已知函数f(x)= 的图象上的一点及临近一点,则.
解:,
∴
例2. 求在附近的平均变化率。
解:,所以
所以在附近的平均变化率为
四.课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为.
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五.回顾总结
1.平均变化率的概念
2.函数在某点处附近的平均变化率
六.布置作业
导数与导函数的概念
教学目标:
1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法;
理解导数的几何意义;
理解导函数的概念和意义;
2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。
教学重点:
1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用
教学难点:
1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用
教学过程:
一、情境引入
在前面我们解决的问题:
1、求函数在点(2,4)处的切线斜率。
,故斜率为4
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是,求时的瞬时速度。
,故斜率为4
二、知识点讲解
上述两个函数和中,当( )无限趋近于0时,( )都无限趋近于一个常数。
归纳:一般的,定义在区间(,)上的函数,,当无限趋近于0时,无限趋近于一个固定的常数A,则称在处可导,并称A为在处的导数,记作或,
上述两个问题中:(1),(2)
三、几何意义:
我们上述过程可以看出
在处的导数就是在处的切线斜率。
四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
(1),(2),
(3),
例2、函数满足,则当x无限趋近于0时,
(1)
(2)
变式:设f(x)在x=x0处可导,
(3)无限趋近于1,则=___________
(4)无限趋近于1,则=________________
(5)当△x无限趋近于0,所对应的常数与的关系。
总结:导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
例3、若,求和
注意分析两者之间的区别。
例4:已知函数,求在处的切线。
导函数的概念涉及:的对于区间(, )上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作。
五、小结与作业
§1.1.2导数的概念
教学目标:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;
教学难点:导数的概念.
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率
(二)探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,
所以,
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二.新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,时的瞬时速度是多少?考察附近的情况:
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