《函数的最大(小)值与导数》教案(共2课时)
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约4100字。
《函数的最大(小)值与导数》教案
§1.3.3 函数的最大(小)值与导数(1)
【教学目标】
1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数 在闭区间 上所有点(包括端点 )处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
【教学过程】
一、复习引入:
1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点.
2.极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点.
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点:
(ⅰ)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, 是极大值点, 是极小值点,而 > .
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若 满足 ,且在 的两侧 的导数异号,则 是 的极值点, 是极值,并且如果 在 两侧满足“左正右负”,则 是 的极大值点, 是极大值;如果 在 两侧满足“左负右正”,则 是 的极小值点, 是极小值.
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值.
二、讲解新课:
1.函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象.图中 与 是极小值, 是极大值.函数 在 上的最大值是 ,最小值是 .
一般地,在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值.
说明:⑴在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如函数 在 内连续,但没有最大值与最小值;
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