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　　§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率
　　成都市石室中学   李军
　　一、教材分析
　　本课是解析几何第一课时。“万事开头难”，“好的开始是成功的一半”，解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。
　　综上，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。
　　（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用
　　随着后续内容的学习，我们逐渐发现，一点和倾斜程度确定直线的很多应用：直线的方向向量、直线的参数方程等等。另外，从加强知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容的角度看，如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型，那么从变化的角度看，直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化之一。即直线在某个区间 上的平均变化率 ，与直线上任意一点 的瞬时变化率（导数） 是相同的，都等于这条直线的斜率 。一切不均匀的变化或者非线性的变化，在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。这也是为什么用线性的研究非线性的，以直代曲，用平均变化率 研究瞬时变化率（导数）的原因。在这种研究方法中，直线的斜率起着枢纽作用，此处不赘述。因此，直线的斜率是重要的概念之一，在高中数学课程中具有重要的地位作用。
　　（二）课时划分
　　“§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率”的教学在在新课标中加上引言为一个课时完成。
　　二、学情和教学设计分析
　　（一）学情分析
　　已知
　　1、了解点与坐标的关系，实现了最简单的形与数的转化；
　　2、了解刻画楼梯的倾斜程度可以用角和  ；
　　3、学生具备了一定的数形结合和分类讨论的思想；
　　未知
　　1、楼梯表面抽象成的直线倾斜程度刻画的推广；
　　2、为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢? “角”是形，“率”是数，它们的关系如何？
　　3、两点确定一条直线，一个定点和一个倾斜角（斜率）也能确定同一条直线，两个几何问题的联系是什么?
　　（二）教学设计分析
　　1. 倾斜角和斜率是在直角坐标系中研究直线时所产生的概念．学生通过直角坐标系已经研究过函数及其图象，具有了数形结合的初步意识，但这是“将代数问题几何化”，对直角坐标系的认识还比较肤浅、片面．作为解析几何的起始课，教学中有必要通过活动，加深学生对直角坐标系的认识，突出“几何问题代数化”的思想。
　　2. 斜率是本课的核心概念，因为它既从代数角度刻画了倾斜程度，同时也是建立直线方程的基础。对于引进斜率的合理性和必要性的认识是本课教学的难点。
　　(1)斜率为什么也能表示直线的倾斜程度。关键是让学生认识到斜率与倾斜角的对应关系。倾斜角与斜率的关系中有几个难点:一是所有的直线都有倾斜角，但并不是所有直线都有斜率;二是并非倾斜角越大，斜率也越大。产生这两个难点的原因在于:一是学生缺乏对倾斜角范围的认识，二是分类讨论的思想意识淡薄，三是由式子k=tan联系到函数及其图象的能力不足。因此教学中有必要分步设置台阶，通过问题让学生思考讨论，以突破难点。但考虑到课时的限制，为突出主题，需避免过分展开。