《余弦定理》教学设计
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约2750字。
余弦定理一课的教学设计
随着数学新课程改革的不断深入,“学生是课堂教学活动的主体”已经成为广大中学数学教师的共识.本文记录了笔者“余弦定理”(“余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书《数学5》(必修)部分的内容)一课的教学过程,并就此谈一些感受和体会,供同行参考,不妥之处,敬请指正。
一、创设情境,提出问题
教师首先提出问题。修建一条高速公路时,要开凿隧道将一段山体打通,现要测量该山体底侧两点间的距离,也就是:如图1,要测量该山体两底侧A、B两点间的距离。
图1
我请同学们先相互讨论一下,想办法解决这个问题。
二、构建模型,解决问题
对于这个问题,同学们都比较兴奋,相互间进行热烈地讨论,提出:先航拍,然后根据比例尺算出距离;利用等高线量出距离等。也有学生提出在远处选一点C,然后量出AC,BC的长度,再测出∠ACB。△ABC是确定的,就可以计算了AB的长了。
笔者让3位学生板演。(为了便于阅读,对学生的解答笔者稍做了一些修饰)。
图2
生1:(他构造了一个直角三角形)
师:我们来看这3位同学的解答。你们怎样评价他们的解答?表达得是否规范?答案对不对?谁做的最好?
因为各自都有了准备,结合自己的解答,可以进行判断。同时,在相互交流的过程中又指出在三种解法中需注意的问题(比如,在第二种解法中需注意向量的夹角等)。
师:现在我想知道你们是怎么想到这些解法的?(分别请三位学生各自谈是如何想到的)
三位学生大概地说出了他们的一些想法,同时又有其他同学补充,最后师生达成共识:第一种解法,是将一般的三角形转化为特殊的直角三角形;第二种解法,是利用向量从形的角度构造向量等式,再将向量等式数量化;第三种解法,是在建立适当的直角坐标系的条件下,利用两点间的距离公式,从而将问题解决。
三、追踪成果,提出猜想
正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系,因为与正弦有关,就称为正弦定理:而上面等式中都与余弦有关,就叫做余弦定理。
师:请同学们思考,刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程呢?
学生相互间进行热烈地讨论,比较、分析,得出结论:若把解法一作为定理的证明过程,需要对角C进行分类讨论,即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明;第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程。
在学生充分讨论、小结后,教师作适当总结:证明余弦定理,就是证明一个等式。而在证明等式的过程中,我们可以将一般三角形的问题通过作高,转化为直角三角形的问题;还可以构造向量等式,然后利用向量的数量积将其数量化;还可以建立直
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