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　　《概率》讲义
　　布丰投针求 值
　　年的某天，法国科学家布丰曾邀请众宾客做过一次投针试验，他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线，又抓来一大把长度都是平行线间距离一半的小针。他请众宾客把小针随意地投在纸上，并在旁记录投针总数和与纸上某条线相交的次数。众宾客不知布丰玩什么把戏，只好客随主便，他们一共投了 次，结果与平行直线相交的共有 次。当布丰宣布投针总数 与相交数 的比值为 ，即圆周率 的近似值时，众宾客哗然，全都感觉不可思议，这和圆周率 又有什么关系呢？布丰给大家解释这是概率的原理，如果增加投针的次数，还能得到 的更精确的近似值。 在这种纷纭杂乱的场合中出现，实在出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得到更一般的结果是：如果纸上两平行线间的距离为 ,小针的长为 ，投针的次数为 ，所投的针中与平行线相交的次数为 ，那么当 相当大时有： 。
　　后来许多人步布丰后尘，用同样的方法计算 值。最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼，他宣称进行了多次投针试验得到了 的近似值 ，这与 的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！用如此方法，能得到如此高精确的 值。不过对于拉兹瑞尼的结果，很多人表示怀疑，因为在数学中可以证明，最接近 真值且分母较小的几个分数是：
　　（疏率）， ， （密率）， 。
　　而拉兹瑞尼居然投出了密率！当然也有人相信拉兹瑞尼确实碰上了好运气。
　　你若喜欢思考，是不是该想想布丰投针试验的原理啊，往后看你就会知道答案。
　　一．随机事件的概率
　　1．随机事件的概念
　　大千世界，所遇到的现象不外乎两类：一类是确定性现象，如在标准大气压下，水加热到 摄氏度时沸腾，是确定会发生的现象；另一类是随机而发生的不确定的现象，如掷一枚硬币出现正面或反面，这种不确定的现象叫做随机现象。
　　随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
　　必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
　　不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
　　必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 表示。
　　【例1】给出下列四个命题：
　　（1）“当 时， ”是必然事件；
　　（2）“当 时， ”是不可能事件；
　　（3）“当 时， ”是随机事件；
　　（4）“当 时， ”是必然事件。
　　其中正确命题的个数是（　　）
　　A．0　　  　B．1　　　  C．2　　　  D．3
　　解：由于 ，所以“当 时， ”是随机事件，从而也不是不可能事件。从而（1）（2）都不正确。而“当 时，
　　”恒成立，故应是必然事件，从而（3）是错误的，只有（4）正确，所以正确的命题个数只有 个，从而选 。
　　【点评】本例求解的关键在于准确理解几种事件的概念，注意判断的前提是在一定的条件下。一旦条件改变，不可能事件也会变成必然事件。