【预-讲-练-结】人教版数学必修三1. 3算法案例
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1.3 算法案例（结）.doc
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1.3 算法案例（结）
求最大公约数
[例1] 用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[自主解答] 用辗转相除法：
80＝36×2＋8，
36＝8×4＋4，
8＝4×2＋0.
故80和36的最大公约数是4.
用更相减损术检验：
80－36＝44，
44－36＝8，
36－8＝28，
28－8＝20，
20－8＝12，
12－8＝4
8－4＝4.
故80和36的最大公约数是4.
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求两数的最大公约数可用辗转相除法和更相减损术两种方法，一般地，用辗转相除法比用更相减损术运算步骤更简捷、更有效．
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
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1．用两种方法求378和90的最大公约数．
解：法一：辗转相除法：
378＝90×4＋18，
90＝18×5＋0，
所以378与90的最大公约数是18.
法二：更相减损术：
因为378与90都是偶数．
所以用2约简得189和45.
189－45＝144,144－45＝99，
99－45＝54,54－45＝9，
45－9＝36,36－9＝27，
27－9＝18,18－9＝9.
所以378与90的最大公约数为2×9＝18.
1.3算法案例（预）
一、预习目标
1、理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2、理解秦九韶算法的思想。
二、预习内容
什么是进位制？最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．
三、提出疑惑
思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
课内探究学案
一、 学习目标
1. 会用辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
2. 会利用秦九韶算法求多项式的值。
3．各进位制之间能灵活转化。
二、学习重难点：
重点：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法和秦九韶算法求多项式的值。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
三、 学习过程
辗转相除法思路：可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)
(1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商 和一个余数 ；
(2)若 ＝0,则n为m,n的最大公约数；若 ≠0,则用除数n除以余数 得到一个
和一个余数 ；(3)若 ＝0,则 为m,n的最大公约数;若 ≠0,则用除数 除以余数 得到一个商 和一个余数 ；……依次计算直至 ＝0，此时所得到的 即为所求的最大公约数.
例题1 求两个正数1424和801的最大公约数.
1. 3算法案例 (讲)
在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也
1. 3算法案例 （练）
一、选择题
1．给出下列说法：①在计算机中，做一次乘法运算所用的时间，比做一次加法运算所用的时间长得多；②在计算机中，计算xk(k＝2,3，…，n)要进行k次运算；③因为秦九韶算法是在南宋时期提出的，所以现在在多项式求值中不是一种先进的算法；④利用秦九韶算法求n次多项式的值时，可以将其转化为求n个一次多项式的值，其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①④正确，②③不正确，故选B.
2．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24 B．18
C．12 D．6
[答案] D
[解析] 先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21,21－18＝3,18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵294＝84×3＋42,84＝42×2，∴选B.
4．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝101x100＋100x99＋99x98＋…＋2x＋1当x＝x0时的值，其中下面公式v0＝101，vk＝vk－1x0＋101－k(k＝1,2，…100)被反复执行，可用循环结构来实现，那么该循环结构中循环体被执行的次数为( )
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