《直线的倾斜角与斜率》教案2
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约3440字。
课 题: 3.1 直线的倾斜角与斜率
教学内容: 3.1.1 直线倾斜角与斜率
教学目的: 理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线斜率公式.
教学重点: 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.
教学难点: 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.
教学过程:
一、课前复习
本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.
本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.
直线是最基本、最简单的几何图形,能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.
教学中一定要注重由浅及深的学习规律,渗透常用的数学思想方法(数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等),体现由特殊到一般的研究方法,化难为易、化抽象为具体.
二、讲解新课
(1)为什么学习解析几何?
(2)解析几何的桥梁是坐标系,理论根据是曲线的方程与方程的曲线的概念。
在初中,我们已经学习过一次函数:一次函数 ,它的图象是一条直线.对于一给定函数 ,作出它的图象的方法:由于两点确定一条直线,所以在直线上任找两点即可.这两点就是满足函数式的两对 值.因此,我们可以得到这样一个结论:一般地,一次函数 的图象是一条直线:它是以满足 的每一对 的值为坐标的点构成的.由于函数式 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说,这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.
直线的方程;方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
指出:在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线与方程的这种关系,建立直线的方程的概念,并通过方程来研究直线的有关问题.这就是解析几何的思想。(可举例)
提出问题
经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?它们的倾斜程度不同 怎样描述直线的倾斜程度呢?
引入新课
知识点1 直线的倾斜角
直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
指出:(1)在平面直角坐标系中,对于一条与 轴相交的直线,如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ,那么 就叫做直线的倾斜角.(定义二)
当直线和 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°。根据定义,我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤ <180°
坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角,而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地(从形的方面)表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.
知识点2 直线的斜率
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 表示.即 。
倾斜角是 的直线没有斜率 即 不存在。(斜率是从数的方面刻划直线相对于x轴倾斜程度.)
指出:(1)角的问题(几何)用角的函数(代数)来研究,为什么选择正切?(只涉及点的坐标,而不涉及距离,很方便。但又有定义域需要讨论的问题,最容易犯错误的地方。)
(2)倾斜角 和斜率 之间的关系:(单调性的充要结论)
(3)强调: 不成在。凡是在研究直线的任何问题时,一定要讨论斜率的存在与不存在两
种情况。
(4)两个基本类型:已知倾斜角 的值 求斜率 的值;已知倾斜角 的范围 求斜率 的范围。
(求范围是难点,强调要画出两个图形,用形数结合的方法处理)
知识点3 经过两点 的直线的斜率公式:
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