约1850字。
《瞬时变化率》学案
导数(一)曲线上一点处的切线
一、教学目标
1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念2.掌握用割线逼近切线的方法.
3.会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程,
二、问题情景
导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科,就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题,还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念,却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响,主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实,他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表,莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以,就发明时间而言,牛顿最于莱布尼兹,就发表时间而言,莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人,引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人,拒绝使用莱布尼兹发明的符号,因此,使自己远离了分析的主流
三、教学过程
(一)点 附近的曲线
1.平均变化率:函数 在区间 上的平均变化率为 .
即曲线上两点的连线(割线)的斜率。
显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。
2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点 附近的曲线的研究)
(从直线上某点的变化趋势的研究谈起,结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲,微观上直”,“曲绝对,直相对”的初步感受,后提出“放大图形”的朴素方法.)
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