课题:§1.3.2函数的奇偶性
教学目的:(1)理解函数的奇偶性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)学会判断函数的奇偶性.
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
教学过程:
一、 引入课题
1.实践操作:(也可借助计算机演示)
取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题:
○11 以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形;
问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?
答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y轴对称;
(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.
○22 以y轴为折痕将纸对折,然后以x轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形:
问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?
答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称;
(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数.
2.观察思考(教材P39、P40观察思考)
二、 新课教学
(一)函数的奇偶性定义
象上面实践操作○11中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数,操作○22中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.
1.偶函数(even function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(学生活动):仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2.奇函数(odd function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:
○11 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
○22 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(二)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
(三)典型例题
1.判断函数的奇偶性
例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤)
解:(略)
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
○11 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
○22 确定f(-x)与f(x)的关系;
○33 作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
巩固练习:(教材P41例5)
(一) 例2.(教材P46习题1.3 B组每1题)
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