2018高考数学（理科）异构异模复习考案全书
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第一章 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合的概念及运算
考点一 集合及其关系
1 集合的基本概念
(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于记为∈，不属于记为∉.
(3)常见集合的符号
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2 集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素相同 A⊆B且B⊆A⇔A＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A
∅B(B≠∅)
注意点 元素互异性的应用
(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点．
(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
1．思维辨析
(1){1,2,3}＝{2,3,1}．( )
(2)空集中只有一个元素0.( )
(3)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．( )
(4)任何集合都至少有两个子集．( )
(5)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．( )
(6)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
答案 D
解析 A＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}而a＝22，∴a∉A.
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝( )
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7} D．{2,5,7}
答案 C
解析 由U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁UA＝{2,4,7}，故选C.
4．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|2<x<3}
B．{x|－1<x≤0}
C．{x|0≤x<6}
D．{x|x<－1}
答案 C
解析 由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，因为∁UB＝{x|x≥0}，所以(∁UB)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.
[考法综述] 集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．
命题法1 集合的基本概念
典例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A.92 B.98
C．0 D．0或98
[解析] (1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y的值分别为0，－1，－2；当x＝1，y＝0,1,2时，x－y的值分别为1,0，－1；当x＝2，y＝0,1,2时，x－y的值分别为2,1,0；∴B＝{－2，－1，0,1,2}．
∴集合B中元素的个数是5个．
(2)集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解集，且A中只有一个元素，所以方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．若a＝0，则方程为－3x＋2＝0，解得x＝23，满足条件；若a≠0，则二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－3)2－8a＝0，解得a＝98，所以a＝0或a＝98.
[答案] (1)C (2)D
【解题法】 解决集合概念问题的一般思路
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
命题法2 集合之间的关系
典例2 已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．
[答案] (－∞，－1]
【解题法】 利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题
(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论．
注意点：注意区间端点的取舍．
(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．BA
答案 D
解析 由真子集的概念知BA，故选D.
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
答案 A
解析 ax2＋ax＋1＝0只有一个根，当a＝0时方程无解，当a≠0，Δ＝0时，即a2－4a＝0，a＝4，故选A.
3.已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是( )
扫一扫•听名师解题
A．{－1} B．{1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
答案 D
解析 B＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}＝{－1,1}．若A⊆B，则有以下情况：当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝xx＝1a，若A⊆B，则A＝{－1}时，a＝－1；A＝{1}时，a＝1；故当a＝0，－1,1时满足A⊆B.
4．设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．P＝Q D．P∪Q＝R
答案 A
解析 ∵Q＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，
又P＝{x|x>1}，∴P⊆Q，故选A.
考点二 集合的基本运算
1 集合的运算及性质
名称 交集 并集 补集
