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共24道小题，约9060字。

　　2016年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（文科）
　　一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
　　1．已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A={2}，B={8，10}，则∁U（A∪B）=（　　）
　　A．{4，6} B．{4} C．{6} D．∅
　　2．已知复数z=1+i，则z4=（　　）
　　A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．4
　　3．已知函数f（x）定义域为R，则命题p：“函数f（x）为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f（x0）=f（﹣x0）”的（　　）
　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　　4．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“snx≤ ”发生的概率为（　　）
　　A． B． C． D．
　　5．执行如图的程序框图，输出的C的值为（　　）
　　A．3 B．5 C．8 D．13
　　6．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（　　）
　　A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β则a⊥b
　　C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α D．若α∥β，a∥α，则a∥β
　　7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　）
　　A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱
　　8．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|= ，则实数m=（　　）
　　A．±1 B．± C．± D．±
　　9．已知点（x，y）满足不等式组 ，则z=x﹣2y的最大值为（　　）
　　A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
　　10．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（　　）
　　A． B． C． D．
　　11．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）
　　A． B．1 C． D．2
　　12．函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣x3）=2，则f（2）=（　　）
　　A．0 B．8 C．9 D．10
　　二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
　　13．双曲线x2﹣2y2=1的渐近线方程为______．
　　14．数列{an}前n项和Sn=2n，则a3+a4=______．
　　15．已知向量 、 满足| |=1，| |=1， 与 的夹角为60°，则| +2 |=______．
　　16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为______．
　　三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
　　17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（ ，﹣2），（ ，2），且在区间（ ， ），上为单调函数．
　　（Ⅰ）求ω，φ的值；
　　（Ⅱ）设an=nf（ ）（n∈N*），求数列{an}的前30项和S30．
　　18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：
　　甲电商：
　　消费金额（单位：千元） [0，1） [1，2） [2，3） [3，4） [4，5]
　　频数 50 200 350 300 100
　　乙电商：
　　消费金额（单位：千元） [0，1） [1，2） [2，3） [3，4） [4，5]
　　频数 250 300 150 100 200
　　（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；
　　（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．
　　19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3．E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1
　　（Ⅰ）求证：CE∥面BDF；
　　（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDF的体积．
　　20．已知椭圆C：  + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l1交椭圆C于A，B两点，且满足|AF1|=7|AF2|
　　（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
　　（Ⅱ）过F1作斜率为1的直线l2交C于M，N两点．O为坐标原点，若△OMN的面积为 ，求椭圆C的方程．
　　21．设函数f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣2a）x+a﹣1，（x∈（0，+∞），实数a∈R）．
　　（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
　　（Ⅱ）若f（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．
　　[选修4-1：几何证明选（共1小题，满分10分）
　　22．如图，AB是⊙O的直径，DA⊥AB，CB⊥AB，DO⊥CO
　　（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；
　　（Ⅱ）设CD与⊙O的公共点为E，点E到AB的距离为2，求 + 的值．
　　[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）
　　23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），曲线C2： （φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= 时，|OB|=2．
　　（Ⅰ）求a，b的值；
　　（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．
　　[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
　　24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣ |（x∈R，实数a＜0）．
　　（Ⅰ）若f（0）＞ ，求实数a的取值范围；
　　（Ⅱ）求证：f（x）≥ ．
　　2016年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（文科）
　　参考答案与试题解析
　　一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
　　1．已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A={2}，B={8，10}，则∁U（A∪B）=（　　）
　　A．{4，6} B．{4} C．{6} D．∅
　　【考点】交、并、补集的混合运算．
　　【分析】根据并集与补集的定义，进行运算即可．
　　【解答】解：∵U={2，4，6，8，10}，集合A={2}，B={8，10}，
　　∴A∪B={2，8，10}，
　　∴∁U（A∪B）={4，6}．
　　故选：A．
　　2．已知复数z=1+i，则z4=（　　）
　　A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．4
　　【考点】复数代数形式的乘除运算．
　　【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
　　【解答】解：∵z=1+i，∴z2=（1+i）2=2i，
　　则z4=（2i）2=﹣4．
　　故选：C．
　　3．已知函数f（x）定义域为R，则命题p：“函数f（x）为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f（x0）=f（﹣x0）”的（　　）
　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　　【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
　　【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
　　【解答】解：若函数f（x）为偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）=f（x），则∃x0∈R，f（x0）=f（﹣x0）成立，则充分性成立，
　　若f（x）=x2，﹣1≤x≤2，满足f（﹣1）=f（1），但函数f（x）不是偶函数，故必要性不成立，
　　即p是q的充分不必要条件，
　　故选：A．
　　4．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“snx≤ ”发生的概率为（　　）
　　A． B． C． D．
　　【考点】几何概型．
　　【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．
　　【解答】解：∵0≤x≤π，
　　∴由snx≤ 得0≤x≤ 或 ≤x≤π，
　　则事件“snx≤ ”发生的概率P= = ，
　　故选：D．
　　5．执行如图的程序框图，输出的C的值为（　　）
　　A．3 B．5 C．8 D．13
　　【考点】程序框图．
　　【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量C的值并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
　　【解答】解：模拟执行程序，可得
　　A=1，B=1，k=3
　　满足条件k≤5，C=2，A=1，B=2，k=4
　　满足条件k≤5，C=3，A=2，B=3，k=5
　　满足条件k≤5，C=5，A=3，B=5，k=6
　　不满足条件k≤5，退出循环，输出C的值为5．
　　故选：B．
　　6．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（　　）
　　A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β则a⊥b
　　C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α D．若α∥β，a∥α，则a∥β
　　【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
　　【分析】由线线平行的性质定理能判断A的正误；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判断C的正误；在D中，a∥β或a⊂β．
　　【解答】解：由互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，知：
　　在A中，由于α∩β=b，a∥α，a∥β，
　　过直线a作与α、β都相交的平面γ，
　　记α∩γ=d，β∩γ=c，
　　则a∥d且a∥c，∴d∥c．
　　又d⊂α，α∩β=b，
　　∴d∥b．∴a∥b．故A正确；
　　在B中，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得a⊥b，故B正确；
　　在C中，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则由线面垂直的判定定理得a⊥α，故C正确；
　　在D中，若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故D错误．
　　故选：D．
　　7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　）
　　A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱
　　【考点】等差数列的通项公式．
　　【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．
　　【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
　　则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
　　又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
　　则a﹣2d=a﹣2× = ．
　　故选：B．
　　8．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|= ，则实数m=（　　）
　　A．±1 B．± C．± D．±
　　【考点】直线与圆的位置关系．
　　【分析】求出圆的圆心（0，0），半径r=1和圆心（0，0）到直线y=x+m的距离，根据直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|= ，利用勾股定理能求出实数m．
　　【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0），半径r=1，
　　圆心（0，0）到直线y=x+m的距离d= ，
　　∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|= ，
　　∴由勾股定理得： ，
　　即1= + ，
　　解得m= ．
　　故选：C．
　　9．已知点（x，y）满足不等式组 ，则z=x﹣2y的最大值为（　　）
　　A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
　　【考点】简单线性规划．
　　【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
　　【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
　　由z=x﹣2y，得y= ，
　　平移直线y= ，由图象可知当直线y= 经过点B时，直线y= 的截距最小，
　　此时z最大，
　　由 ，解得 ，
　　即B（5，2），
　　此时zmax=5﹣2×2=1．
　　故选：C．
　　10．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（　　）
　　A． B． C． D．
　　【考点】正弦定理．
　　【分析】由已知及正弦定理可得sinC= = ，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．
　　【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，
　　∴由正弦定理可得：sinC= = = ，
　　又∵AB＜AC，C为锐角，
　　∴cosC= = ．
　　故选：D．
　　11．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）
　　A． B．1 C． D．2
　　【考点】抛物线的简单性质．
　　【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．
　　【解答】解：由抛物线定义，|PF|=xP+1=2，所以xP=1，|yP|=2，
　　所以，△PFO的面积S= |yP|= =1．
　　故选：B
　　12．函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣x3）=2，则f（2）=（　　）
　　A．0 B．8 C．9 D．10
　　【考点】函数的值．
　　【分析】由题意得f（x）﹣x3是定值，令f（x）﹣x3=t，得到t3+t=2，求出t的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（2）即可．
　　【解答】解：∵函数f（x）对定义域内的任意x，
　　均有f（f（x）﹣x3）=2，
　　则f（x）﹣x3是定值，
　　不妨令f（x）﹣x3=t，
　　则f（t）=t3+t=2，解得：t=1，
　　∴f（x）=x3+1，
　　∴f（2）=23+1=9，
　　故选：C．
　　二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
　　13．双曲线x2﹣2y2=1的渐近线方程为　y=± x　．
　　【考点】双曲线的简单性质．
　　【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y=± x，即可得到所求方程．
　　【解答】解：双曲线x2﹣2y2=1即为
　　x2﹣ =1，
　　可得a=1，b= ，
　　渐近线方程为y=± x，
　　即为y=± x．
　　故答案为：y=± x．
　　14．数列{an}前n项和Sn=2n，则a3+a4=　12　．
　　【考点】数列递推式．
　　【分析】利用递推公式即可得出．
　　【解答】解：∵数列{an}前n项和Sn=2n，
　　∴a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1．
　　则a3+a4=22+23=12．
　　故答案为：12．
　　15．已知向量 、 满足| |=1，| |=1， 与 的夹角为60°，则| +2 |=　 　．
　　【考点】平面向量数量积的运算．
　　【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出 ，从而便可求出 ，这样即可求出 的值．
　　【解答】解：根据条件， ；
　　∴ ；
　　∴ ．
　　故答案为： ．
　　16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为　6π　．
　　【考点】球的体积和表面积．
　　【分析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．
　　【解答】解：由已知，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为 2，
　　底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
　　则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，
　　∵PD=BD=2，
　　∴由勾股定理可得R2=4+（2﹣R）2，∴R=2，
　　即球心O为AC的中点，
　　则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×22=16π．
　　故答案为：6π
　　三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
　　17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（ ，﹣2），（ ，2），且在区间（ ， ），上为单调函数．
　　（Ⅰ）求ω，φ的值；
　　（Ⅱ）设an=nf（ ）（n∈N*），求数列{an}的前30项和S30．
　　【考点】数列的求和；正弦函数的图象．
　　【分析】（Ⅰ）由题可得 +φ=2kπ﹣ ，  +φ=2kπ+ ，（k∈Z），从而解得；
　　（Ⅱ）化简an=nf（ ）=2nsin（ ﹣ ）（n∈N*），而数列{2sin（ ﹣ ）}的周期为3；从而可得a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣ ，从而解得．
　　【解答】解：（Ⅰ）由题可得 +φ=2kπ﹣ ，  +φ=2kπ+ ，（k∈Z）；
　　解得ω=2，φ=2kπ﹣ （k∈Z），
　　∵|φ|＜π，∴φ=﹣ ．
　　（Ⅱ）∵an=nf（ ）=2nsin（ ﹣ ）（n∈N*），
　　而数列{2sin（ ﹣ ）}的周期为3；
　　前三项依次为2sin0=0，2sin = ，2sin =﹣ ，
　　∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣ ，
　　∴S30=（a1+a2+a3）+…+（a28+a29+a30）=﹣10 ．
　　18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：
　　甲电商：
　　消费金额（单位：千元） [0，1） [1，2） [2，3） [3，4） [4，5]
　　频数 50 200 350 300 100
　　乙电商：
　　消费金额（单位：千元） [0，1） [1，2） [2，3） [3，4） [4，5]
　　频数 250 300 150 100 200
　　（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；
　　（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．
　　【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
　　【分析】（Ⅰ）根据频数分布表，能作出频率分布直方图，根据频率分布直方图，能比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小．
　　（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为2人，运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，由此利用列举法能求出这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．
　　【解答】解：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，…
　　甲的中位数在区间[2，3）内，乙的中位数在区间[1，2）内，所以甲的中位数大．
　　由频率分布图得乙的方差大．…
　　（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为2人，
　　记作a，b；运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，记作1，2，3，4．
　　在这六人中任意抽取两人，所得基本事件空间为：
　　Ω={ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34}，共计15个元素．…
　　把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作A，
　　则A={a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}，共计8个元素．
　　∴P（A）= ．…
　　19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3．E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1
　　（Ⅰ）求证：CE∥面BDF；
　　（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDF的体积．
　　【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
　　【分析】（Ⅰ）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF；
　　（Ⅱ）由PA是三棱锥P﹣ABD的高，求出底面三角形ABD的面积，由三棱锥P﹣BDF的体积等于三棱锥P﹣ABD的体积与三棱锥F﹣ABD的体积差求解．
　　【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．
　　连接AC交BD于O，连接FO．
　　由题可得F为AG中点，O为AC中点，
　　∴FO∥GC；
　　又G为PF中点，E为PD中点，
　　∴GE∥FD．
　　又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，
　　FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．
　　∴面GEC∥面FOD．
　　∵CE⊂面GEC，
　　∴CE∥面BDF；
　　解：（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，
　　∴PA是三棱锥P﹣ABD的高，
　　又 ，
　　∴ ，
　　同理 ．
　　∴ ．
　　20．已知椭圆C：  + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l1交椭圆C于A，B两点，且满足|AF1|=7|AF2|
　　（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
　　（Ⅱ）过F1作斜率为1的直线l2交C于M，N两点．O为坐标原点，若△OMN的面积为 ，求椭圆C的方程．
　　【考点】椭圆的简单性质．
　　【分析】（Ⅰ）由已知推导出|AF1|= ，|AF2|= ，再由勾股定理得到得（ ）2﹣（ ）2=4c2，由此能求出椭圆C的离心率．
　　（Ⅱ）椭圆方程化为x2+4y2=b2，直线l为：y=x+ ，联立可得 =0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出椭圆C的方程．
　　【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：  + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
　　过F2作垂直于x轴的直线l1交椭圆C于A，B两点，且满足|AF1|=7|AF2|，
　　∴由|AF1|+|AF2|=2a，|AF1|=7|AF2|，
　　解得|AF1|= ，|AF2|= ，…
　　直角△AF1F2中，由勾股定理得（ ）2﹣（ ）2=4c2，
　　∴椭圆C的离心率 = ．…
　　（Ⅱ）椭圆方程化为x2+4y2=b2，直线l为：y=x+ ，
　　联立可得 =0，…
　　设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， ，得|x1﹣x2|= ．
　　△OMN的面积为：  |y1﹣y2|= |x1﹣x2|= = = ，…
　　∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为 ．…
　　21．设函数f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣2a）x+a﹣1，（x∈（0，+∞），实数a∈R）．
　　（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
　　（Ⅱ）若f（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．
　　【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
　　【分析】（I）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，比较极值点的大小关系，利用二次函数的性质得出f（x）的单调性；
　　（II）讨论f（x）在（0，1）上的单调性，求出f（x）的最小值，令fmin（x）＞0解出a的范围．
　　【解答】解（Ⅰ）f′（x）=﹣ +2a（x﹣1）+1= （x＞0）．
　　设g（x）=2ax2+（1﹣2a）x﹣1=（2ax+1）（x﹣1），
　　（1）当a≥0时，2ax+1＞0．令g（x）＞0，得x＞1，令g（x）＜0，得0＜x＜1．
　　∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
　　（2）当a＜0时，g（x）图象开口向下，在（0，+∞）上有两个零点1和﹣ ，
　　①当a=﹣ 时，﹣ =1，此时当g（x）＞0，无解；g（x）＜0，可得x＜1或x＞1．
　　∴f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递减，且函数f（x）在（0，+∞）上不间断，即函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
　　②当﹣ ＜a＜0时，﹣ ，此时当g（x）＞0，可得1 ；当g（x）＜0，可得0＜x＜1或x ．
　　∴f（x）在（1，﹣ ）上单调递增；在（0，1），（﹣ ，+∞）上单调递减．
　　③当a＜﹣ 时，0 ，此时当g（x）＞0，可得﹣ ；g（x）＜0，可得0 或x＞1．
　　∴f（x）在（﹣ ，1）上单调递增；在（0，﹣ ），（1，+∞）上单调递减．
　　（Ⅱ）函数f（x）过（1，0）点，由（Ⅰ）得a≥﹣ 时，f（x）在（0，1）为减函数，
　　∴f（x）＞f（1）=0，符合题意．
　　当a＜﹣ 时，f（x）在（0，﹣ ）递减，在（﹣ ，1）上单调递增，
　　∴f（﹣ ）＜f（1）=0，不符合题意．
　　∴a的取值范围为[﹣ ，+∞）．
　　[选修4-1：几何证明选（共1小题，满分10分）
　　22．如图，AB是⊙O的直径，DA⊥AB，CB⊥AB，DO⊥CO
　　（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；
　　（Ⅱ）设CD与⊙O的公共点为E，点E到AB的距离为2，求 + 的值．
　　【考点】与圆有关的比例线段．
　　【分析】（Ⅰ）证明CO是∠BCD的平分线，圆心O到CD的距离等于半径，即可证明：CD是⊙O的切线；
　　（Ⅱ）分类讨论，过E作EF⊥AB交AB于F，过C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H，由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．在△CGD中，有 ，即可求 + 的值．
　　【解答】（Ⅰ）证明：由题可知DA，BC为⊙O的切线．
　　∵∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=90°；
　　∵∠OBC=90°，∴∠OCB+∠BOC=90°；
　　∴∠AOD=∠OCB，
　　∴△AOD∽△BCO，∴ = ，…
　　又∵AO=OB，∴ = ，
　　∴Rt△OCD∽Rt△BCO，∴∠OCD=∠BCO，
　　∴CO是∠BCD的平分线，∴圆心O到CD的距离等于半径，
　　∴CD是⊙O的切线；…
　　（Ⅱ）解：若DA=CB，显然可得 + =1．…
　　若DA≠CB，不妨设DA＞CB．
　　过E作EF⊥AB交AB于F，过C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H．
　　由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．
　　在△CGD中，
　　有 ，即 = ，化简得 + =1．
　　综上：  + =1．…
　　[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）
　　23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），曲线C2： （φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= 时，|OB|=2．
　　（Ⅰ）求a，b的值；
　　（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．
　　【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
　　【分析】（I）由曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．
　　（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=  +1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．
　　【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），
　　化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，
　　其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a= ．
　　曲线C2： （φ为参数，实数b＞0），
　　化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
　　由题意可得当 时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
　　（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
　　∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=  +1，
　　∵2θ+ ∈ ，∴  +1的最大值为 +1，
　　当2θ+ = 时，θ= 时取到最大值．
　　[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
　　24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣ |（x∈R，实数a＜0）．
　　（Ⅰ）若f（0）＞ ，求实数a的取值范围；
　　（Ⅱ）求证：f（x）≥ ．
　　【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．
　　【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．
　　【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ ＞ ，
　　即a2+ a+1＞0，
　　解得a＜﹣2或﹣ ＜a＜0；
　　（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣ |= ，
　　当x≥﹣ 时，f（x）≥﹣ ﹣ ；
　　当 ＜x＜﹣ 时，f（x）＞﹣ ﹣ ；
　　当x≤ 时，f（x）≥﹣a﹣ ，
　　∴f（x）min=﹣ ﹣ ≥2 = ，
　　当且仅当﹣ =﹣ 即a=﹣ 时取等号，
　　∴f（x）≥ ．
　　2016年9月20日