《函数的单调性》复习教案
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约3050字。
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
2.3 函数的单调性
一.要点集结
1.单调性的概念
如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,①都有 ,则称f(x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ;②都有 ,则称f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 .
若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 .
2.判断单调性的方法:
(1)定义法,其步骤为:① ;② ;③ .
(2)导数法,若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f(x)在这个区间上是增函数;②若 ,则f(x)在这个区间上是减函数.
基础自测
1.若函数f(x)=x2-2(1+a)x+8在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围为________.
[解析] 由题意知:函数f(x)=x2-2(1+a)x+8的单调减区间为(-∞,(1+a)],又函数在(-∞,4]上为减函数,所以有4≤1+a,解得a≥3.
2.函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调增区间为________.
[解析] 由题意知x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5,即函数f(x)=log2(x2-4x-5)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),根据外函数为单调增函数,而内函数u=x2-4x-5=(x-2)2-9在(5,+∞)上单调递增,所以所求函数的单调增区间为(5,+∞).
3. 若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
[解析]令g(x)=x2-ax+3a,由题知g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g(2)>0.
∴a2≤2,4-2a+3a>0,∴-4<a≤4.
4. 若函数y=lnx-ax的增区间为(0,1),则a的值是________.
[解析] 由条件可知,y′=1x-a>0的解集为(0,1),可知a=1.
5.证明:f(x)=x+1x在(-∞,-1)上是增函数.
[证明] 设x1,x2是(-∞,-1)内的任意两个不相等的负实数,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x1x2-1)x1x2,
∵x1<x2<-1,∴x1x2>1>0.
∴x1x2-1>0,∴Δy=f(x2)-f(x1)>0.
所以f(x)=x+1x在(-∞,-1)上是增函数.
二.考点探究
考点1.函数单调性的判定
例1.已知函数f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
解:当0<a<1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,则
a3123(12)2-2a12>0,解得0<a<34.
当a>1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,则
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