北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）第五章 平面向量（8份打包）
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第五章 5.4.docx
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1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律
(a＋b)＋c：
＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )
(6)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．( √ )
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③ C．①③ D．①②
答案 A
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
2.如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→等于( )
A．a＋34b
B.14a＋34b
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a•b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝a2＝x2＋y2，
其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．
2．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．( √ )
(2)向量b在向量a方向上的射影是向量．( × )
(3)若a•b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a•b＜0，则a和b的夹角为钝角．( × )
(4)在△ABC中，若AB→•BC→<0，则△ABC为钝角三角形．( × )
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ )
1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵AB→＝(2，－2)，CB→＝(6,6)，
∴AB→•CB→＝12－12＝0，
∴AB→⊥CB→，∴△ABC为直角三角形．
2．已知在△ABC中，|BC→|＝10，AB→•AC→＝－16，D为边BC的中点，则|AD→|等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
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