2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第8章 立体几何与空间向量
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高考专题突破四.docx
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1．空间几何体的结构特征
(1)多面体
①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
(2)旋转体
①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．
③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．
2．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
3．空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
1．直线与平面垂直
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
图形 条件 结论
判
定
a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性
质
a⊥α，b⊂α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( × )
(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( √ )
(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )
A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内任意一条直线垂直
答案 D
解析 由直线与平面垂直的定义，可知D正确．
2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
1．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．
其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( )
A．③④ B．①③
C．②③ D．①②
答案 C
解析 由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．
2．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 B.2
C.2－12 D.2＋12
答案 C
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2 ]，不可能等于2－12.
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.
4．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
答案 ①或③
解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
5. (2014•江苏改编)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)
答案 平行 垂直
解析 ①因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，
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