2017版高考数学北师大版（理）一轮复习（课件+讲义）：第7章 不等式
7.1 不等关系与不等式.docx
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7.2 一元二次不等式及其解法.docx
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7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.docx
7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.pptx
7.4 基本不等式及其应用.docx
7.4 基本不等式及其应用.pptx
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法a－b>0⇔a > ba－b＝0⇔a ＝ ba－b<0⇔a < b (a，b∈R)；
(2)作商法ab>1⇔a > bab＝1⇔a ＝ bab<1⇔a < b (a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔b<a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
可乘性 a>bc>0⇒ac>bc
注意c的符号
a>bc<0⇒ac<bc
同向可加性 a>bc>d⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd
⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn
(n∈N＋) a，b同为正数
可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N＋)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a<1b.
②a<0<b⇒1a<1b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．
②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)1a>1b⇔a<b(ab≠0)．( × )
(3)a>b，c>d⇒ac>bd.( × )
(4)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × )
(5)若a3>b3且ab<0，则1a>1b.( √ )
1．设a<b<0，则下列不等式中不成立的是( )
A.1a>1b B.1a－b>1a
C．|a|>－b D.－a>－b
答案 B
解析 由题设得a<a－b<0，所以有1a－b<1a成立，
即1a－b>1a不成立．
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，c<d⇒a－c>b－d；
②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；
③a>b>0⇒3a>3b；
④a>b>0⇒1a2>1b2.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
答案 D
3．若a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
答案 D
解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，
当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立．
4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________．
①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9；
②(x－3)2<(x－2)(x－4)；
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．
(4)a2＋b22≥a＋b22 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab.
(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )
(2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈(0，π2)的最小值等于4.( × )
(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．( × )
(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．( × )
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，
即xy≤(x＋y2)2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.1ab≤14 B.1a＋1b≤1
C.ab≥2 D．a2＋b2≥8
答案 D
解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，1ab≥14，选项A，C不成立；1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
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