2016年四川省宜宾市文化培训学校高中数学竞赛试题汇编:函数迭代与函数方程
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【基础知识】
1.函数迭代
⑴ 函数迭代的定义
设 (其中 )是一个函数,对任意 ,记 , ,
, ,……, ,……,
则称 是函数 在 上的 次迭代,并称 是 的迭代指数.
如果 有反函数,则记为 ,于是,迭代指数可取所有整数.
⑵ 简单的函数迭代
求一个函数的 次迭代,是数学竞赛中的一种基本题型.对于一些简单的函数,它的 次迭代是容易得到的.
若 ,则 , , .
若 ,则 , , .
若 ,则 , ,
.
⑶ 函数迭代的求法
①数学归纳法
这里用到的是先猜后证的想法,即先对函数 迭代几次,观察出其规律,然后猜测出
的表达式,最后用数学归纳法证之.这种方法只适用于一些较为简单的函数.
②递归法
设 是定义在 上且取值于 的函数,由此定义数列 : 已知,且 ,
, .一方面,若已求得 ,则 ,
即 通项公式;另一方面,如果已求得 的通项公式 ,则取 , ,而 ,从而 ,即 的表达式.
由上述知,函数的 次迭代可以通过构造数列的方法来解,其步骤为
第一步,设 , ;
第二步,由 ,求出 ;
第三步, .
③相似法
相似法是求函数 的 次迭代的一个重要方法.若存在一个函数 以及它的反函数
,使得 ,我们就称 通过 和 相似,简称 和 相似,记为 ,其中 称为桥函数.
相似关系是一个等价关系,也就是说它满足:
自身性, ;
对称性,若 ,则 ;
传递性,若 , ,则 .
如果 与 相似,即 ,
那么 , , .
这样一来,我们便把 的迭代问题转化为 的迭代问题.
④不动点法
关于 的方程 的根称为 的不动点.不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质,进而确定桥函数的形状,然后利用相似法求出函数的 次迭代.
函数的不动点具有如下的性质:
若 是 的不动点,则 ,即 也是 的不动点.
设 ,因此有 ,若 ,则有 ,即 是 的不动点.
对于一些简单的函数,利用不动点,把函数变形后再迭代,最后用数学归纳法证之,会使计算简单些.
利用不动点找桥函数的方法:由不动点的性质知,桥函数 具有下列性质:它将 的不动点 映成 的不动点 ,通常为了便于求解 , 通常为 , , , 等.
2.函数方程
⑴ 函数方程的定义
解为函数的方程为函数方程.例如 等都是函数方程.
⑵ 函数方程解法
寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程,一般有以下几种方法:
①代换法
代换法是解函数方程的常用手段,其基本思想是:将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化),得到一个新的函数方程,然后设法求得未知数.如 ,令 ,则 ,于是
,即 ,经检验它是函数方程的解.
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