空间向量与立体几何问题（2份打包）
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空间向量与立体几何问题
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1.如图，在四面体SABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，试证SC⊥AB.
例2.如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．
例3.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．
例4.如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)求证A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面
求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.
空间向量与立体几何答案
四、典题探究
例1.证明 取SA→＝a，SB→＝b，SC→＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC，
即a•c－b＝0 ①b•c－a＝0 ②
②－①得c•(b－a)＝0，
则SC⊥AB.
例2．解答：以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如空间直角坐标系Cxyz.
设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．
又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0.
(1)证明 AS→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)，由|AS→|＝|BS→|得
x－22＋y－22＋z2＝x2＋y－22＋z2，
故x＝1.
由|DS→|＝1得y2＋z2＝1，
又由|BS→|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，
即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝32.
于是S1，12，32，AS→＝－1，－32，32，BS→＝1，－32，32，DS→＝0，12，32，DS→•AS→＝0，DS→•BS→＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分)
(2)解 设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥BS→，a⊥CB→，∴a•BS→＝0，a•CB→＝0.
又BS→＝1，－32，32，CB→＝(0,2,0)，
故m－32n＋32p＝0，2n＝0.
取p＝2得a＝(－3，0,2)．又AB→＝(－2,0,0)，
cos〈AB→，a〉＝AB→•a|AB→|•|a|＝217.
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