2016高考数学（理科）大一轮复习（课件+课时训练+教师用书）：选修4－1 几何证明选讲（打包5份）
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课时检测 相似三角形的判定及有关性质
(建议用时：45分钟)
1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：
图7
(1)△BPE∽△CPF；
(2)△EFP∽△BCP.
【证明】 (1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.
∴∠BFC＝∠CEB＝90°，
又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.
(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EPBP＝FPCP.
又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.
2．如图8，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：CBCO＝CDCA.
图8
【证明】 连结AD，由同弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC，
AB为直径AB⊥CD⇒AD＝AC⇒∠ADC＝∠ACD，
OB＝OC⇒∠OCB＝∠OBC⇒△CAD∽△COB⇒CBCO＝CDCA.
3．如图9，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
图9
【解】 ∵BD2＋AD2＝82＋62＝102＝AB2，∴∠ADB＝90°，
又∵∠CAD＝∠B，∠B＋∠BAD＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，即∠BAC＝90°，
由射影定理，得AD2＝BD•DC，∴CD＝AD2BD＝368＝92.
4．(2015•抚顺模拟)如图10所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连结CD.
求证：(1)∠EDF＝∠CDF；
(2)AB2＝AF•AD.
图10
【证明】 (1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.
又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.
又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.
(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.
选修4－1 几何证明选讲
第一节 相似三角形的判定及有关性质
[考情展望] 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．
1．平行线等分线段定理
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
4．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理
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