《几何证明选讲》学案

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约2950字。

  《几何证明选讲》学案
  基础自测
  1.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC
  内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,
  AC=1,BC=2,则AF∶FC=       .
  答案  
  2.从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C,且AB•AC=64,OA=10,则⊙O的半径等
  于          .
  答案  2 或6
  3.设P为△ABC内一点,且 =  +  ,则△ABP的面积与△ABC的面积之比等于    .
  答案  
  4.如图所示,AC为⊙O的直径,BD⊥AC于P,PC=2,PA=8,
  则CD的长为         ,cos∠ACB=        .
  答案  2   
  5.如图所示,PA与圆O相切于A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心O,
  已知∠BPA=30°,PA=2 ,PC=1,则圆O的半径等于        .
  答案  7
  例1  已知:如图所示,以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为
  邻边作平行四边形ACED,连接EB,DC的延长线交BE于F.
  求证:EF=BF.
  证明  连接AE交DC于O.
  ∵四边形ACED为平行四边形,
  ∴O是AE的中点(平行四边形对角线互相平分).
  ∵四边形ABCD是梯形,
  ∴DC∥AB.
  在△EAB中,OF∥AB,O是AE的中点,
  ∴F是EB的中点,即EF=BF.
  例2  如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AB
  上任意一点,CF交AD于点E.求证:AE•BF=2DE•AF.
  证明  过点D作AB的平行线DM交A,交FC于点N.
  在△BCF中,D是BC的中点,
  DN∥BF,∴DN= BF.
  ∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE,
  ∴ = .
  又DN= BF,∴ = ,
  即AE•BF=2DE•AF.
  例3  (2008•苏、锡、常、镇三检)自圆O外一点P引切线与圆切于点A,
  M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点.
  求证:∠MPB.
  证明  ∵PA与圆相切于A,
  ∴MA2=MB•MC,
  ∵M为PA中点,∴PM=MA,
  ∴PM2=MB•MC,∴ = .
  ∵∠BMP=∠PMP∽△PMC,
  ∴∠MPB.
  例4  (14分)如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线
  上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的
  延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切
  点为H.
  求证:(1)C,D,F,E四点共圆;
  (2)GH2=GE•GF.
  证明  (1)连接BC.∵AB是⊙O的直径,
  ∴∠ACB=90°.
  ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°.
  又∠EAG=∠BAC,
  ∴∠ABC=∠AEG.
  又∠FDC=∠ABC,
  ∴∠FDC=∠AEG.
  ∴∠FDC+∠CEF=180°.
  ∴C,D,F,E四点共圆.                                                     7分
  (2)∵GH为⊙O的切线,GCD为割线,
  ∴GH2=GC•GD.
  由C,D,F,E四点共圆,
  得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF.
  ∴△GCE∽△GFD.∴ = ,
  即GC•GD=GE•GF.
  ∴CH2=GE•GF.                                                            14分
  例5  (2008•徐州三检)如图所示,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=2 ,AB=BC=3.求BD以及AC的长.

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