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共24道小题，约9580字。

　　辽宁省鞍山市鞍钢高中2013年高考数学三模试卷（理科）
　　一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
　　1．（5分）已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（　　）
　　A． {x|x＞﹣2} B． {x|1＜x＜2} C． {x|1≤x≤2} D． ∅
　　考点： 交集及其运算．.
　　专题： 计算题．
　　分析： 求出集合A中函数的定义域，确定出集合A，求出集合B中函数的值域，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可确定出两集合的交集．
　　解答： 解：由集合A中的函数y=lg（4﹣x2），得到4﹣x2＞0，
　　解得：﹣2＜x＜2，
　　∴集合A={x|﹣2＜x＜2}，
　　由集合B中的函数y=3x，x＞0，得到y＞1，
　　∴集合B={y|y＞1}，
　　则A∩B={x|1＜x＜2}．
　　故选B
　　点评： 此题属于以函数的定义域与值域为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型．
　　2．（5分）（2012•济南二模）设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）
　　A． [0， ] B． （0， ） C． （﹣∞，0]∪[ ，+∞） D． （﹣∞，0）∪（ ，+∞）
　　考点： 命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．.
　　专题： 计算题．
　　分析： 先化简命题p，q即解绝对值不等式和二次不等式，再求出┐p，┐q，据已知写出两集合端点的大小关系，列出不等式解得．
　　解答： 解：∵p：|4x﹣3|≤1，
　　∴p： ≤x≤1，
　　∴┐p：x＞1或x＜ ；
　　∵q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，
　　∴q：a≤x≤a+1，
　　┐q：x＞a+1或x＜a．
　　又∵┐p是┐q的必要而不充分条件，
　　即┐q⇒┐p，而┐p推不出┐q，
　　∴ ⇒0≤a≤ ．
　　故选项为A．
　　点评： 本题考查解绝对值不等式和二次不等式；考查充要条件的转化．
　　3．（5分）在空间中，下列命题正确的是（　　）
　　A． 平面α内的一条直线a垂直与平面β内的无数条直线，则α⊥β
　　B． 若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
　　C． 若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
　　D． 若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α．
　　考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．.
　　分析： 利用面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理对四个选项进行判断；
　　解答： 解：A、∵平面α内的一条直线a垂直与平面β内的任意条直线，则α⊥β，故A错误；
　　B、直线m与平面α内的一条直线平行，也可以推出m⊂α，故B错误；
　　C、平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线也可以推出m∥β，故C错误；
　　D、∵直线a与平面α内的任意条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确；
　　故选D；
　　点评： 此题主要考查命题的真假的判断与应用，考查平面与平面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，是一道基础题；
　　4．（5分）（2012•德州一模）若直线ax+by﹣1=0（a，b∈（0，+∞））平分圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，则 的最小值是（　　）
　　A．   B．   C． 2 D． 5
　　考点： 直线与圆的位置关系；基本不等式．.
　　专题： 计算题．
　　分析： 由题意可得直线经过圆的圆心，故有 a+b=1，故有  = + =3+ + ，利用基本不等式求出它的最小值．
　　解答： 解：由题意可得直线ax+by﹣1=0（a，b∈（0，+∞））经过圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心（1，1），
　　故有a+b=1，
　　∴ = + =3+ + ≥3+2 ，当且仅当 = 时，等号成立．
　　故 的最小值是3+2 ，
　　故选B．
　　点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于中档题．
　　5．（5分）已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为 ，则2a7+a11的最小值为（　　）
　　A． 16 B． 8 C．   D． 4
　　考点： 等比数列的通项公式．.
　　专题： 计算题；等差数列与等比数列．
　　分析： 由各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为 ，知a4•a14=（2 ）2=8，故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．
　　解答： 解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为 ，
　　∴a4•a14=（2 ）2=8，
　　∴a7•a11=8，
　　∵a7＞0，a11＞0，
　　∴2a7+a11≥2 =2 =8．
　　故选B．
　　点评： 本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．
　　6．（5分）（2012•邯郸模拟）使函数 是奇函数，且在 上是减函数的θ的一个值是（　　）
　　A．   B．   C．   D． 
　　考点： 正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．.
　　专题： 计算题．
　　分析： 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+θ+ ），由于它是奇函数，故θ+ =kπ，k∈为奇数时，
　　f（x）=﹣2sin2x，满足在 上是减函数，此时，θ=2nπ﹣ ，n∈为偶数时，经检验不满足条件．
　　解答： 解：∵函数 =2sin（2x+θ+ ） 是奇函数，故θ+ =kπ，k∈π﹣ ．
　　当k为奇数时，令k=2n﹣1，f（x）=﹣2sin2x，满足在 上是减函数，此时，θ=2nπ﹣ ，n∈z，
　　选项B满足条件．
　　当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在 上是减函数．
　　综上，只有选项B满足条件．
　　故选 B．
　　点评： 本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口．
　　7．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有（　　）
　　A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
　　考点： 直线与圆的位置关系．.
　　专题： 压轴题．
　　分析： 先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和 比较，可得结果．
　　解答： 解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是 2 ，圆心到直线x+y+1=0的距离是 ，
　　故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为 的共有3个．
　　故答案为：3．
　　点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．
　　8．（5分）函数f（x）= 在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，a，b为常数，则f（x）在（0，+∞）上的最大值为（　　）
　　A． 9 B． 5 C． 7 D． ，6
　　考点： 奇偶性与单调性的综合．.
　　专题： 函数的性质及应用．
　　分析： 先令g（x）=ax3+blog2（x+ ），判断其奇偶性，再由函数f（x）=ax3+blog2（x+ ）+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，得到函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论．
　　解答： 解：令g（x）=ax3+blog2（x+ ），其定义域为R，
　　又g（﹣x）=a（﹣x）3+blog2（﹣x+ ）
　　=﹣[ax3+blog2（x+ ）]=﹣g（x），
　　所以g（x）是奇函数．
　　根据题意：f（x）=ax3+ +2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，
　　所以函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，
　　所以函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
　　所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．
　　故选A．
　　点评： 本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与﹣x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．
　　9．（5分）已知实数x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则 的取值范围是（　　）
　　A． [4，+∞） B． （﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） C． （﹣∞，0]∪[4，+∞） D． 不能确定
　　考点： 等差数列与等比数列的综合．.
　　专题： 综合题；分类讨论．
　　分析： 设x，a1，a2，y的公差为d，求出d= ，设x，b1，b2，y的公比为q，求出q= ， = ．由此分类讨论可求出 的取值范围．
　　解答： 解：设x，a1，a2，y的公差为d，
　　则y=x+3d，∴d= ，
　　∴ ， ．
　　设x，b1，b2，y的公比为q，
　　则y=xq3，∴q= ，
　　， ，
　　∴ = ．
　　若x，y同号，则 = =  ．
　　若x＞0，y＜0，则 = ≤0．
　　若x＜0，y＞0，则 = =﹣（﹣ ）+2 ．
　　综上所述， 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
　　故选C．