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共21道小题，约8930字。

　　广东省深圳市2013年高考数学一模试卷（理科）
　　一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
　　1．（5分）（2013•深圳一模）化简sin2013°的结果是（　　）
　　A． sin33° B． cos33° C． ﹣sin33° D． ﹣cos33°
　　考点： 运用诱导公式化简求值．
　　专题： 计算题．
　　分析： 将所求式子中的角变形后利用诱导公式化简即可得到结果．
　　解答： 解：sin2013°=sin（360°×5+213°）=sin213°=sin（180°+33°）=﹣sin33°．
　　故选C
　　点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
　　2．（5分）（2013•深圳一模）已知i是虚数单位，则复数i13（1+i）=（　　）
　　A． 1+i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
　　考点： 复数代数形式的乘除运算．
　　专题： 计算题．
　　分析： 利用i2=﹣1化简i13，然后直接利用复数的乘法运算得到结果．
　　解答： 解：i13（1+i）=（i2）6•i（1+i）=（﹣1）6•i（1+i）=﹣1+i．
　　故选C．
　　点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了基本概念，属会考题型．
　　3．（5分）（2013•深圳一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是（　　）
　　A． 32π、  B． 16π、  C． 12π、  D． 8π、
　　考点： 由三视图求面积、体积．
　　专题： 计算题．
　　分析： 利用三视图复原的几何体的形状以及三视图的数据直接求解几何体个表面积与体积．
　　解答： 解：三视图复原的几何体是半径为2的半球，
　　所以半球的表面积为半个球的表面积与底面积的和：2πr2+πr2=3πr2=12π．
　　半球的体积为： = ．
　　故选C．
　　点评： 本题考查几何体的三视图与几何体的关系，三视图复原几何体的形状是解题的关键，注意公式的正确应用．
　　4．（5分）（2013•深圳一模）双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（　　）
　　A．  B．  C． 2 D． 4
　　考点： 双曲线的简单性质．
　　专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
　　分析： 利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．
　　解答： 解：双曲线x2﹣my2=1化为 ，∴a2=1， ，
　　∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2， ，解得m=4．
　　故选D．
　　点评： 熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
　　5．（5分）（2013•深圳一模）等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
　　第一列 第二列 第三列
　　第一行 2 3 5
　　第二行 8 6 14
　　第三行 11 9 13
　　则a4的值为（　　）
　　A． 18 B． 15 C． 12 D． 20
　　考点： 等差数列的性质．
　　专题： 等差数列与等比数列．
　　分析： 由题意可得 a1 =3，a2 =8，a3=13，可得此等差数列的公差d的值，故把a3 加上4，即得a4的值．
　　解答： 解：由题意可得 a1 =3，a2 =8，a3=13，故此等差数列的公差为5，故a4=a3+d=18，
　　故选A．
　　点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．
　　6．（5分）（2013•深圳一模）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（　　）
　　A． 18个 B． 15个 C． 12个 D． 9个
　　考点： 排列、组合及简单计数问题．
　　专题： 新定义．
　　分析： 先设满足题意的“六合数”为 ，根据“六合数”的含义得a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分四种情形，再对每一种情形求出种数，即可得出“六合数”中首位为2的“六合数”共有多少种．
　　解答： 解：设满足题意的“六合数”为 ，则a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：
　　（1）一个为4，两个为0，共有3种；
　　（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A =6种；
　　（3）两个为2，一个为0，共有3种；
　　（4）一个为2，两个为1，共有3种．
　　则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．
　　故选B．
　　点评： 本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．
　　7．（5分）（2013•宁波模拟）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
　　A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
　　考点： 数列的求和；根的存在性及根的个数判断．
　　专题： 计算题；函数的性质及应用．
　　分析： 由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
　　解答： 解：由图象变化的法则可知：
　　y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=ln|x﹣1||的图象；
　　又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：
　　两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，
　　由中点坐标公式可得：xA+xB=﹣2，xD+xC=2，xE+xF=6
　　故所有交点的横坐标之和为6
　　故选B
　　点评： 本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．
　　8．（5分）（2013•深圳一模）定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得 ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=2x，x∈[1，2]，则函数f（x）=2x在[1，2]上的几何平均数为（　　）
　　A．   B． 2 C．   D． 4
　　考点： 指数函数的单调性与特殊点．
　　专题： 新定义．
　　分析： 根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得  ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=2x，D=[1，2]，代入即可得到答案．
　　解答： 解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，
　　结合f（x）=2x在区间[1，2]单调递增
　　则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应
　　故C= =2
　　故选C．
　　点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．
　　二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
　　9．（5分）（2013•深圳一模）若 ，则a3=　80　．
　　考点： 二项式定理的应用．
　　专题： 计算题．
　　分析： 根据二项式展开式的通项公式为 Tr+1= •（2x）r，可得x3的系数a3= •23，运算求得结果．
　　解答： 解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1= •（2x）r，故x3的系数a3= •23=80，
　　故答案为 80．