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共24道小题，约5920字。

　　2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料
　　（理科）
　　说明：
　　⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．
　　⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．
　　3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．
　　希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！
　　1. 已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点
　　．
　　（1）求 的解析式；
　　（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
　　2. 设函数 .
　　（1）若 是函数 的一个零点，求 的值；
　　（2）若 是函数 的一个极值点，求 的值.
　　3. 在 中，内角 所对的边长分别是 , 已知 ， .
　　（1）求 的值；
　　（2）若 为 的中点，求 的长.
　　4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
　　（1）求角α的正弦值；
　　（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．
　　5. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
　　（1）指出这组数据的众数和中位数；
　　（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
　　（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望．
　　6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对 排放量超过
　　的 型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类 型品牌车各抽取 辆进行
　　排放量检测，记录如下(单位： ).
　　甲 80 110 120 140 150
　　乙 100 120 
　　160
　　经测算发现，乙品牌车 排放量的平均值为  ．
　　（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合 排放量的概率是多少？
　　（2）若 ，试比较甲、乙两类品牌车 排放量的稳定性．
　　7．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
　　（1）求 的分布列；
　　（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
　　（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
　　8．如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， 底
　　面 ， ， 分别为 的中点．
　　（1）求证： ；
　　（2）求 与平面 所成的角的正弦值．
　　9．一个三棱锥 的三视图、直观图如图．
　　（1）求三棱锥 的体积；
　　（2）求点C到平面SAB的距离；
　　（3）求二面角 的余弦值．
　　10．如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面
　　和圆 所在的平面互相垂直，且 ， ．
　　（1）求证： 平面 ；
　　（2）设 的中点为 ，求证： 平面 ；
　　（3）设平面 将几何体 分成的两个锥体
　　的体积分别为 ， ，求  ．