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共21题，约3090字。

　　湖南省益阳市第一中学2013届高三第五次月考数学（理）试题
　　一、填空题（每小题5分，共40分）：
　　1、如果 （ ， 表示虚数单位），则 (     )。
　　A．1      B．        C．2       D．0
　　2、设集合 , ，则 等于（　 　）。
　　A．            B．              C．         D．
　　3、直线 平行的充要条件是（     ）。
　　A、a=2               B、a=2或－1          C、a= －1          D、a= －2
　　4、一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度
　　单位为 ），则该棱锥的体积是（     ）。
　　A．           B．                           
　　C．           D．                     俯视图         正视图        侧视图
　　5、已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 等于（     ）。
　　A．      B．              C．                D．
　　6、过椭圆 的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若 ，则椭圆的离心率的范围是（     ）。
　　A．           B．            C．           D．
　　7、已知函数 有且仅有三个公共点，这三个公共
　　点横坐标的最大值为 ，则 等于（     ）。
　　A．          B．—sin          C．—tan          D．tan
　　8、已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，若 ，则 的取值范围是（     ）。
　　A．   B．   C．   D． 
　　二、填空题（每小题5分，共35分）：
　　9、 函数 的定义域为            。
　　10、若命题“  ， ”为真命题，则实数 的取值范围是____________.
　　11、已知向量 ，若 ，则 =         。
　　12、若直线 与圆 有公共点，则直线斜率的取值范围        。
　　13、 中， 则          。
　　14、已知 是偶函数，当 时，   则关于 的不等式
　　的解集是________     ___。
　　15、若函数 为正的极值点从小到大依次排列为 ，给出以下不等式：
　　① ；  ② ；  ③ ；  ④ ；
　　其中，正确的判断是               ．（请写出正确的序号）
　　答     卷
　　二、9、              10、               11、                12、             
　　13、              14、               15、              
　　三、解答题（75分）： 
　　16、设函数 ，当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ；（Ⅰ）求 的解析式及单调递减区间；
　　（Ⅱ）将函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移 ，得到函数 ，求 图像与 轴的正半轴、直线 所围成图形的面积。
　　17、数列 中 且
　　（1）求 ，并求数列 的通项公式；
　　（2）设 ，求证：对 ，都有 。
　　18、如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，
　　矩形 所在的平面与圆 所在的平面互相垂直．已知
　　, ．（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
　　（Ⅱ）当 的长为何值时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ？
　　19、如图，A,B是海面上位于东西方向相距 海里的
　　两个观测点，现位于A点北偏东 ，B点北偏西 的D
　　点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 且与B点
　　相距 海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为
　　30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？
　　20、设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, ；
　　(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|= ，求椭圆C的方程。
　　21、已知函数 ．（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
　　（Ⅱ）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证： （其中 ，e是自然对数的底数）．
　　益阳市一中高三第五次月考数学试题（文科）
　　一、填空题：
　　1、如果 （ ， 表示虚数单位），则 (     )。
　　A．1      B．        C．2       D．0
　　2、设集合 , ，则 等于（　 　）。
　　A．            B．              C．         D．
　　3、直线 平行的充要条件是（     ）。
　　A、a=2               B、a=2或－1          C、a= －1          D、a= －2
　　4、一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度
　　单位为 ），则该棱锥的体积是（     ）。
　　A．           B．                           
　　C．           D．                     俯视图         正视图        侧视图
　　5、已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 等于（     ）。
　　A．      B．              C．                D．
　　6、曲线 上的点M到直线 的最小距离为（     ）。
　　A、               B、             C、2                D、
　　7、过椭圆 的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若 ，则椭圆的离心率的范围是（     ）。
　　A．           B．            C．           D．
　　8、已知函数 有且仅有三个公共点，这三个公共
　　点横坐标的最大值为 ，则 等于（     ）。
　　A．          B．—sin          C．—tan          D．tan
　　二、填空题：
　　9、 函数 的定义域为            。
　　10、若命题“  ， ”为真命题，则实数 的取值范围是____________。
　　11、已知向量 ，若 ，则 =         。
　　12、梭长为2的正方体的外接球的表面积为          。
　　13、若直线 与圆 有公共点，则直线斜率的取值范围        。
　　14、 中， 则          。
　　15、已知 是偶函数，当 时，   则关于 的不等式
　　的解集是________     ___。
　　答     卷
　　二、9、              10、               11、                12、             
　　13、             14、               15、              
　　三、解答题： 
　　16、设函数 ，当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ；（Ⅰ）求 的解析式及单调递减区间；
　　（Ⅱ）将函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移 ，得到函数 ，求 的表达式。
　　17、已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）
　　（Ⅰ）求出数列 的通项公式；
　　（Ⅱ）若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值.
　　18、三棱锥P－ABC中， ，
　　平面PAB⊥平面ABC；（1）求证：PA⊥平面PBC；
　　（2）求二面角P―AC―B的大小；
　　19、如图，A,B是海面上位于东西方向相距 海里的
　　两个观测点，现位于A点北偏东 ，B点北偏西 的D
　　点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 且与B点
　　相距 海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为
　　30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？
　　20、已知函数  ．
　　（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
　　（2）若函数 在 处取得极值，对  , 恒成立，求实数 的取值范围；
　　21、已知椭圆  的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦
　　点构成的三角形的面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程；
　　（Ⅱ）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点. ①若线段 中点的横坐标为 ，求斜率 的值；②若点 ，求证： 为定值.
　　高三数学第五次月考参考答案（理科）
　　一、填空题：
　　A  　B　  C    A    C    B    D    B 
　　二、填空题：
　　9、         10、            11、            12、 
　　13、          14、     15、②④
　　三、解答题：
　　16、设函数 ，当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ；（Ⅰ）求 的解析式及单调递减区间；
　　（Ⅱ）将函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移 ，得到函数 ，求 图像与 轴的正半轴、直线 所围成图形的面积。
　　解；（Ⅰ） ，
　　.
　　当 时，原函数的最大值与最小值的和 ，
　　由 ，得 .
　　故函数 的单调递减区间是 .    
　　（2）由题意知  ，  =1
　　17、数列 中 且
　　（1）求 ，并求数列 的通项公式；
　　（2）设 ，求证：对 ，都有 。
　　解：（1）求得 ，猜想 ，用数学归纳法证明
　　（2）代入，整理，得
　　求得  ，用分析法证明 
　　显然成立
　　18、如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，
　　矩形 所在的平面与圆 所在的平面互相垂直．已知
　　, ．（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
　　（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小；
　　（Ⅲ）当 的长为何值时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ？
　　（I）证明： 平面 平面 , ,
　　平面 平面 = ， 平面 ．
　　平面 ， ，
　　又 为圆 的直径， ， 平面 ．            
　　平面 ， 平面 平面 ．
　　（II）设 中点为 ，以 为坐标原点， 、 、 方向分别为 轴、 轴、  轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设  ，则点 的坐标为 则   ,又                               
　　设平面 的法向量为 ，则 , ．
　　即 
　　令 ，解得                                         
　　由（I）可知 平面 ，取平面 的一个
　　法向量为 ，
　　依题意  与 的夹角为
　　，即 ， 解得
　　因此，当 的长为 时，平面与 平面 所成的锐二面角的大小为 .
　　19、如图，A,B是海面上位于东西方向相距 海里的
　　两个观测点，现位于A点北偏东 ，B点北偏西 的D
　　点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 且与B点
　　相距 海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为
　　30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？
　　解：
　　20、设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, ；
　　(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|= ，求椭圆C的方程。
　　（2）
　　21、已知函数 ．（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
　　（Ⅱ）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
　　（Ⅲ）求证： （其中 ，e是自然对数的底数）．
　　解析：（Ⅰ）当 时， （ ），
　　（ ），
　　由 解得 ，由 解得 ．
　　故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 4分
　　（Ⅱ）因函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，则当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，设 （ ），只需 即可． 5分
　　由  ，
　　（ⅰ）当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递减，故 成立．
　　（ⅱ）当 时，由 ，因 ，所以 ，
　　①若 ，即 时，在区间 上， ，则函数 在 上单调递增， 在 上无最大值（或：当 时， ），此时不满足条件；
　　②若 ，即 时，函数 在 上单调递减，在区间 上单调递增，同样 在 上无最大值，不满足条件．
　　（ⅲ）当 时，由 ，∵ ，∴ ，
　　∴ ，故函数 在 上单调递减，故 成立．
　　综上所述，实数a的取值范围是 ．