2012年高考数学30道压轴题
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共30题，约6850字。
2012年高考数学30道压轴题
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点 （ ）的准线 与x轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）设 （ ），过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 . (14分)
2． 已知函数 对任意实数x都有 ，且当 时， 。
（1） 时，求 的表达式。
（2） 证明 是偶函数。
（3） 试问方程 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C： 。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
4.以椭圆 ＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.
6 已知过函数f（x）= 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3） 令 。是否存在一个实数t，使得当 时，g（x）有最大值1？
7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱ ︱是2和 的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
8．已知数列{an}满足
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为S¬n，试比较Sn与 的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在 轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线 对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线 与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线 经过M（-2，0）及AB的中点，求直线 在 轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点， 为双曲线C的左，右两个焦点，从 引 的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
10. 对任意 都有
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