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　　四边形内角和定理的认知分析与教学设计
　　一、课题的认知分析
　　学习“四边形内角和”是在学习“三角形内角和”的基础上进行的，如何建立两者的逻辑联系是一个基本矛盾，沟通中如何自然地引进辅助线是一个主要难点，而通过沟通提炼化归思想则是一个极好的机会（也是体现数形结合思想、不变量思想、分解与组合思想等的极好机会）。在这些方面，我国的数学教学实践已经积累了很多经验（参见文[1]～ [6]），我们将借鉴这些经验并做出提升，为此，首先从认知基础和转化途径方面对课题做出分析。这些分析的清楚与否应是教学设计的内容组成和设计能否优良的数学基础，同时也是防止单纯“非数学化”情境设计的一个有效措施。
　　（一）认知基础的分析
　　证明四边形ABCD的内角和∠A+∠B+∠C+∠D=360°，是说四个角（变量）在变化中有相依关系，并存在不变量：和为360°。这就产生定理证明的两个最基本的问题。
　　问题1：何处提供360°？（等式右边）
　　问题2：怎样把四个角加起来？（等式左边）
　　由于任意四边形的每个内角不是固定的具体数值，所以，不能指望通过测量而由数字的相加来得出证明（可以用于结论的发现）。因而，从哪些地方去寻找论证的基础是一个首先要明确的问题，我们看到至少有五个认知基础。
　　1.把“三角形内角和”知识作为认知基础
　　学习“三角形内角和”之后，再学习“四边形内角和”，把前者作为后者的认知基础，这是自然的，也是教材的基本意图。如上所说，“如何沟通两者的逻辑联系”是本课题的一个“基本矛盾”。（参见图 4）
　　但是，作为课题分析，教师还应认识到，这仅仅是一个最重要或最明显的基础，也仅仅是一个显性知识的基础。事实上，显性知识的基础并不止这一个，并且除了显性知识之外，还有隐性知识可以作为基础。
　　2.把“三角形内角和”学习的体验作为认知基础
　　在“三角形内角和”学习中，证明△ABC的内角和∠A+∠B+∠C=180°，也有类似的两个基本问题（参见文[7]）。
　　问题1：何处提供180°？（等式右边）
　　问题2：怎样把三个角加起来？（等式左边）
　　这种类似性使得当初的学习体验具有很强的可迁移性。当初是怎样探究问题的？是怎样证明问题的？遇到哪些困难？辅助线是怎样找到的？……这些智力活动所共生的体验，对处理“四边形内角和”非常有帮助（下文将会展开）。这些个性化、过程性的隐性知识没有受到重视，以及对这些隐性知识如何迁移的心理机制认识不到位，是课题分析中的一个流行缺失。
　　3.把“周角的定义”作为认知基础
　　当初证明“三角形内角和”定理的一个基本思路是：作角的集中，转化为平角。怎样集中呢？如图 1，当初是通过作辅助平行线（图1(1)中CE∥AB）将三角形的内角集中为点C处的一个平角实现角的转移的（图形的分解与组合），现在也可以将四边形的内角集中为一个周角。
　　比如，图1(2)中，连对角线AC并延长，将一个四边形分成两个三角形，并出现它们的外角 （∠DCE，∠BCE），有∠3=∠1+∠2，∠6=∠4+∠5，从而四边形的内角和便（通过三角形外角定理）集中为点C处的两个平角（拼为一个周角）。