极限练习题
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极限的练习
极限的四则运算.doc
函数的连续性.doc
函数极限.doc
数列极限.doc
数学归纳法.doc分段函数的极限和连续性
例 设
（1）求 在点 处的左、右极限，函数 在点 处是否有极限？
（2）函数 在点 处是否连续？
（3）确定函数 的连续区间．
分析：对于函数 在给定点 处的连续性，关键是判断函数当 时的极限是否等于 ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．
解：（1）
∴
函数 在点 处有极限．
（2）
函数 在点 处不连续．
（3）函数 的连续区间是（0，1），（1，2）．
说明：不能错误地认为 存在，则 在 处就连续．求分段函数在分界点 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有 才存在．
函数的图象及连续性
例 已知函数 ，
（1）求 的定义域，并作出函数的图象；
求第一类函数的极限
例 讨论下列函数当 时的极限：
（1）
（2）
（3）
分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．
解：作出所给各函数的图像
由图像可知：
（1） 不存在， 不存在
（2）
（3） 不存在．
说明：函数 当 时的极限与数列 当 时的极限不同，前者包括当 时的极限，当 时的极限，只有 时， 的极限才存在．
由于 ，容易错误地认为 ．事实函数、数列以及极限的综合题
例 已知函数 的图象是自原点出发的一条折线．当 时，该图象是斜率为 的线段（其中正常数 ），设数列 由 定义． 求：
（1）求 和 的表达式；
（2）求 的表达式，并写出其定义域；
（3）证明： 的图像与 的图象没有横坐标大于1的交点．
分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．
（1）由斜率分式求出 ，同样由斜率公式求出关于 的递推式，然后求出 ，（2）由点斜式求出 段的 的表达式，用极限的方法求出定义域．（3） 与 没有交点，只要 时 ，或 时 恒成立，当 ，由于 ，只要证
解：（1）依题意 ，又由 ，当 时，函数 的图象是斜率为 的线段，故由 得
又由 ，当 时，函数 的图象是斜率为 的线段，故由
，即 得
记 由函数 的图象中第 段线段的斜率为 ，故得
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