约1430字。
第十九课时 指数函数(4)
【学习导航】
学习要求:
1、巩固指数函数的图象及其性质;
2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质;
【精典范例】
一、复合函数的定义域与值域
例1、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=
思维分析:y=a的定义域是f(x)的定义域;对于值域,要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。
【解】:
(1)令,得。解得x1,或x<-1。故定义域为
{x│x1,或x<-1}。由于,且,所以
,
故函数y=的值域为{y│y且y};
(2) 定义域为R;由于2x-x=-(x-1)+1,所以值域为[。
(3)令3,所以x.
所以定义域为[-,值域为[。
二、利用复合函数单调性来解题
例2、求函数y=的单调区间。
【解】:
定义域是R。令,则。当时函数为增函数,是减函数,所以函数y=在上是减函数;当时函数为减函数,是减函数,所以函数y=在上是增函数。
综上,函数y=的单调增区间是,单调减区间是。
点评:y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的,遵循“同增异减”法则。
三、利用图象的性质比较大小
例3、已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),根据图象判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小,并加以证明。
【解】:
由a>1及0<a<1两种情形的指数函数图象可以判断f()〈[f(x1)+f(x2)]。
证明如下:f(x1)+f(x2)-2 f()=+-2a=( a-a),由于,所以a-a.
所以( a-a)〉0.
所以f(x1)+f(x2)-2 f()>0
即
[f(x1)+f(x2)]> f()。
四、分类讨论思想在解题中的应用
例4、已知f(x)=(ex-a)+ (e-x-a)(a0)。
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