中考试题分类汇编——函数综合题
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共33道小题,约10200字。
中考试题分类汇编--函数综合题
1. 如图,已知点A(tanα,0),B(tanβ,0)在x轴正半轴上,点A在点B的左边,α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角.
(1)若二次函数y=-x2- kx+(2+2k-k2)的图象经过A、B两点,求它的解析式;
(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由.
解:(1)∵ α,β是Rt△ABC的两个锐角,
∴ tanα•tanβ=1.tanα>0,tanβ>0.
由题知tanα,tanβ是方程
x2+ kx-(2+2k-k2)=0的两个根,
∴ tanx•tanβ=(2=2k-k2)=k2-2k-2,∴ k2-2k-2=1.
解得,k=3或k=-1.
而tanα+tanβ=- k>0,
∴ k<0.∴ k=3应舍去,k=-1.
故所求二次函数的解析式为y=-x2+ x-1.
(2)不在.
过C作CD⊥AB于D.
令y=0,得-x2+ x-1=0,
解得x1= ,x2=2.
∴ A( ,0),B(2,0),AB= .
∴ tanα= ,tanβ=2.设CD=m.则有CD=AD•tanα= AD.
∴ AD=2CD.
又CD=BD•tanβ=2BD,
∴ BD= CD.
∴ 2m+ m= .
∴ m= .∴ AD= .
∴ C( , ).
当x= 时,y= ≠
∴ 点C不在(1)中求出的二次函数的图象上.
2.已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线顶点为 ,与 轴交点为 .求 的值.
(3)设抛物线与 轴的另一个交点为 ,求四边形 的面积.
解:(1)解方程组
得 , .
(2)顶点 .
(3)在 中,令 得 , ,
令 得 或 , .
四边形 (面积单位)
3.如图9,抛物线y=ax2+8ax+12a与 轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点 在第一象限,满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1) 求线段OC的长.
(2) 求该抛物线的函数关系式.
(3) 在 轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,
请说明理由.
解:(1) ;(2) ;(3)4个点:
4.已知函数y= 和y=kx+l(k≠O).
(1)若这两个函数的图象都经过点(1,a),求a和k的值;
(2)当k取何值时,这两个函数的图象总有公共点?
解;(1) ∵两函数的图象都经过点(1,a),∴ ∴
(2)将y= 代人y=kx+l,消去y.得kx2+x一2=0.
∵k≠O,∴要使得两函数的图象总有公共点,只要△≥0即可.
∵△=1+8k,
∴1+8k≥0,解得k≥一
∴k≥一 且k≠0.
5.已知如图,矩形OABC的长OA= ,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC。
(1)填空:∠PCB=____度,P点坐标为( , );
(2)若P,A两点在抛物线y=- x2+bx+c上,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上;
(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上,是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)30,( , );
(2)∵点P( , ),A( ,0)在抛物线上,故 - × +b× +c= ,- ×3+b× +c=0, ∴b= ,c=1. ∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+1,C点坐标为(0,1). ∵- ×02+ ×0+1=1,
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