此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

约37310字。

　　云南省2011届高三数学一轮复习专题题库——立体几何
　　141. 已知菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BD＝a，沿对角线BD将 折起 所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。
　　(1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值
　　(2)求二面角A－EF－B的正切值。
　　(1) 解析：：菱形ABCD的对角线 ，
　　，中位线EF//BD，可知 面AOC， ，故面 ，这样AC在面AEF内的射影就是AG， 就是AC与平面AEF的成角，解三角形AOC可得 。
　　(2)分析：由前一小问的分析可知 ，
　　就是二面角A－EF－B的平面角，在 中， ， ， 。
　　142. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。
　　解析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。
　　解： 由题意可得直线DC 平面BEB1，且垂足为C，过C作CF B1E于F（如图，F在B1E的延长线上），连DF，则由三垂线定理可得 DFC即二面角的平面角。
　　△B1C1E~△CFE，∴CF= ；DF=
　　∴cos DFC= 。
　　即二面角的平面角的余弦值为 。
　　143. 如图，在平面角为600的二面角 -l- 内有一点P，P到 、 分别为P,PD=3cm,则垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？
　　解析：对于本题若这么做：过C在平面 内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则 CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明 CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。
　　解：∵PC、PD是两条相交直线，
　　∴PC、PD确定一个平面 ，设 交棱l于E，连CE、DE。
　　∵PC⊥ ，    ∴PC⊥l,
　　又∵PD⊥ ，∴PD⊥l。
　　∴l⊥平面 ，则l⊥CE、DE，故 CED即为二面角的平面角，即 CED=600。
　　∴ CPD=1200，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R= = = cm。
　　说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。
　　144. 如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.
　　解法一：如图，延长DA、CB交于E， ＝ ＝ ，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝ ＝ ，故二面角大小为arcsin .
　　解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，
　　平面PAD⊥平面ABCD
　　CD⊥AD，BA⊥AD
　　BA⊥平面PAD
　　CD⊥平面PAD
　　△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S△PDA＝S△PCB•cosθ.Rt△PAB中，PA＝4 ＝AD；Rt△PDC中，PD＝2 .
　　∴△PAD为等腰三角形且S△PAD＝ PD•AH＝15 .
　　cosθ＝ ＝ ＝ ，
　　θ＝arccos＝ .
　　145. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点A1在底面的射影O在AB上，已知侧棱A1A与底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案： ） 
　　146. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC， ABC=900，AB=a,AD=3a,sin ADC= ,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg ）
　　147. 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一
　　点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。
　　作法一：∵A—CP—B为直角二面角，
　　∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。
　　∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。
　　∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
　　作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。
　　∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′，
　　∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。
　　148. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，
　　使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
　　这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在
　　于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB•AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO•tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。