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　　　高中数学复习专题讲座——数学归纳法的解题应用
　　高考要求 
　　数学归纳法是高考考查的重点内容之一   类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法  
　　重难点归纳 
　　(1)数学归纳法的基本形式
　　设P(n)是关于自然数n的命题，若
　　1°P(n0)成立(奠基)
　　2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立  
　　(2)数学归纳法的应用
　　具体常用数学归纳法证明   恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等  
　　典型题例示范讲解 
　　例1试证明   不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有   an+cn＞2bn  
　　命题意图   本题主要考查数学归纳法证明不等式  
　　知识依托   等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤  
　　错解分析   应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况  
　　技巧与方法   本题中使用到结论   (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak•c+ck•a  
　　证明   (1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且q≠1)
　　∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
　　(2)设a、b、c为等差数列，
　　则2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈N*)
　　下面用数学归纳法证明  
　　①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
　　②设n=k时成立，即
　　则当n=k+1时，  (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
　　＞ (ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c)
　　＞( )k•( )=( )k+1
　　也就是说，等式对n=k+1也成立  
　　由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立  
　　例2在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－ 成等比数列  
　　(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；
　　(2)用数学归纳法证明所得的结论；
　　(3)求数列{an}所有项的和  
　　命题意图   本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识  
　　知识依托   等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤   采用的方法是归纳、猜想、证明  
　　错解分析   (2)中，Sk=－ 应舍去，这一点往往容易被忽视  
　　技巧与方法   求通项可证明{ }是以{ }为首项， 为公差的等差数列，进而求得通项公式  
　　解   ∵an,Sn,Sn－ 成等比数列，
　　∴Sn2=an•(Sn－ )(n≥2)                       (*)
　　(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
　　由a1=1，a2=－ ,S3= +a3代入(*)式得   a3=－
　　同理可得   a4=－ ,由此可推出   an=
　　(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立  
　　②假设n=k(k≥2)时，ak=－ 成立
　　故Sk2=－ •(Sk－ )
　　∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0
　　∴Sk=  (舍)
　　由Sk+12=ak+1•(Sk+1－ ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－ )