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第二章 函数概念与基本初等函数
§2.1 映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射:一般地,设A、B两个集合,如果按照某种对应法则 ,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射,记作f:A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
2.函数: 设A,B都是非空的数集,如果按某种对应法则 ,对于集合A中每一个元素 ,在集合B中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数,记作 .
其中所有的输入值 组成的集合A称为函数 定义域.
对于A中的每一个 ,都有一个输出值 与之对应,我们将所有输出值 组成的集合称为函数的值域.
3.反函数:一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出来,得到x=f-1(y)
4. 若对于y在C中的任何一个值,通过x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=f-1(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
二、疑难知识
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的,即 与 上有序的.或者说:映射是有方向的,
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合B中有剩留元素;允许多对一,不允许一对多.
(3)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
(1)对函数符号 的理解知道 y= 与 的含义是一样的,它们都表示 是 的函数,其中 是自变量, 是函数值,连接的纽带是法则 . 是单值对应.
(2)注意定义中的集合 A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;
(3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法.
3.对反函数概念的认识
(1)函数y= 只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数;
(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得.
(3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题
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