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　　一则基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※
　　朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）
　　对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。
　　1 教学案例：正四棱台体积公式
　　1.1提出问题
　　师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a，上底面边长为b，高为h，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。
　　生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为 ，则 大正四棱锥 小正四棱锥= ……）。我做不下去了。
　　1.2类比、猜想、实验
　　师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下
　　正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。
　　生2：我想 ，因为梯形面积公式为 。
　　生3：我觉得应该是 ，因为正四棱锥体积公式中有系数 ，且当 时，  ,即为正四棱锥体积公式。
　　师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长 米，下底边长 米，高 米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为 立方米，由生3的公式得 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为 米的柱形容器，量一下，高为多少？约为 米，体积约为 立方米。看来上面两个公式都不是很准确。
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　　※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。
　　生4：梯形面积公式中系数是 ，是因为括号内只有 两项。那么，如果正四棱台体积公式系数取 ，则括号内应有三项，除了 、 我想还应有 ，也即 ，计算 。这与我们的实验结果一致。另外，当 时， 是正四棱锥的体积公式；当 时， 是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。
　　1.3推导公式
　　师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方