约2900字 立体几何欧拉定理与球
一、知识点：
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
正多面体 顶点数
面数
棱数
正四面体 4 4 6
正六面体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
正二十面体 12 20 30
3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数 、面数 及棱数 有关系式： ．
4．欧拉示性数：在欧拉公式中令 ， 叫欧拉示性数
（1）简单多面体的欧拉示性数 ．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数
（3）多面体所有面的内角总和公式：① 或②
5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球 ．
6．球的截面：用一平面 去截一个球 ，设 是平面 的垂线段， 为垂足，且 ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以 为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
7． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数
8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离
9．两点的球面距离公式： （其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数）
10 半球的底面：已知半径为 的球 ，用过球心的平面去截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆 （包含它内部的点），叫做所得半球的底面
11．球的体积公式：
12 球的表面积：
二、练习：
1 一个 面体共有8条棱，5个顶点，求
2．一个正 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求
3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4
4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由
5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边
6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．
②球半径为 ，球心到截面距离为 ，则截面面积为 ．
③已知球的两个平行截面的面积分别是 和 ，它们位于球心同一侧，且相距 ，则球半径是 ．
④球 直径为 ， 为球面上的两点且 ，则 两点的球面距离为 ．
⑤北纬 圈上 两地，它们在纬度圈上的弧长是 （ 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．
7．北纬 圈上有 两地， 在东径 ， 在西径 ，设地球半径为 ， 两地球面距离为 ；
8．一个球夹在 二面角内，两切点在球面上最短距离为 ，则球半径为 ；
9.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
10 球的大圆面积增大为原来的 倍，则体积增大为原来的 倍；
11．三个球的半径之比为 ，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
12.若球的大圆面积扩大为原来的 倍，则球的体积比原来增加 倍；
13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
14.正方体全面积是 ，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
15 球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
16．表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积
17． 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
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