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共23题，约3420字。

　　蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测
　　高二数学（理科）
　　第Ⅰ卷（选择题，共60分）
　　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的 ， ， ， 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.
　　1.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 对应的点位于复平面内的（   ）
　　A．第一象限          B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限
　　2.“指数函数是增函数，函数 是指数函数，所以函数 是增函数”，以上推理（   ）
　　A．大前提不正确      B．小前提不正确     C．结论不正确      D．正确
　　3.曲线 在点 处的切线方程是（   ）
　　A．        B．      C．          D． 
　　4.已知回归方程 ，则该方程在样本 处的残差为（   ）
　　A．5                  B．2               C．1               D．-1
　　5.用数学归纳法证明不等式“ ”的过程中，归纳递推由 到 时，不等式的左边（   ）
　　A．增加了一项
　　B．增加了两项
　　C．增加了两项 ，又减少了一项
　　D．增加了一项 ，又减少了一项
　　6.从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件 “第一次取到的是奇数”，事件  “第二次取到的是奇数”，则 （   ）
　　A．                B．           C．         D．
　　7.已知 ， ， 均为正实数，则 ， ， 的值（   ）
　　A．都大于1                         B．都小于1
　　C．至多有一个不小于1               D．至少有一个不小于1
　　8.某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（   ）
　　【参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， .】
　　A．17                B．23          C．34          D．46
　　9.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（   ）
　　A．                   B．                     C．                    D．
　　10.下列等式中，错误的是（   ）
　　A．                     B．
　　C．                           D．
　　11.将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（   ）
　　A．40                B．28              C．24         D．16
　　12.若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的最大值为（   ）
　　A．          B．          C．4         D．
　　第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上.
　　13.计算：           ．
　　14.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
　　感染 未感染 总计
　　注射 10 40 50
　　未注射 20 30 50
　　总计 30 70 100
　　参照附表，在犯错误的概率最多不超过          的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
　　【参考公式： .】
　　0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
　　2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
　　15.已知多项式 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中 的系数为          （用数字作答）.
　　16.已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第 行、第 行的数记为 ，如 ， .若 ，则           ．
　　三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选做题，考生根据要求作答.
　　（一）必做题：每小题12分，共60分.
　　17.已知 ， 均为正实数，求证： .
　　18.如图1，已知 中， ，点 在斜边 上的射影为点 .
　　（Ⅰ）求证： ；
　　（Ⅱ）如图2，已知三棱锥 中，侧棱 ， ， 两两互相垂直，点 在底面 内的射影为点 .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥 中 与 ， ， 的关系，并证明.
　　19.小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间 （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.
　　（分钟）
　　15 20 25 30
　　频数（次） 50 50 60 40
　　（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望 ；
　　（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过 的天数为 ，求 的分布列及数学期望.
　　20.我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：
　　定价 （元/ ）
　　10 20 30 40 50 60
　　年销售
　　1150 643 424 262 165 86
　　14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9
　　图（1）为 散点图，图（2）为 散点图.
　　（Ⅰ）根据散点图判断 与 ， 与 哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；
　　（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立 关于 的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；
　　（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额 定价 年销售）
　　参考数据： ， ， ， ， ，  ， ， ，
　　参考公式： ， .
　　21.函数 ， .
　　（Ⅰ）求函数 的极值；
　　（Ⅱ）若 ，证明：当 时， .
　　（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
　　22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
　　在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
　　（Ⅰ）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程；
　　（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ， 与 的交点为 ， ，求 的面积.
　　23.【选修4-5：不等式选讲】
　　已知函数 .
　　（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
　　（Ⅱ）求证： .
　　蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测
　　高二数学（理科）参考答案
　　一、选择题
　　1-5: DABDC      6-10: ADBCC     11、12：BA
　　二、填空题
　　13.           14. 0.05          15. 4860          16. 72
　　三、解答题
　　17.解：方法一：
　　因为 ， 均为正实数， ， ，
　　两式相加，得 ，
　　所以 .
　　方法二：
　　.
　　所以 .
　　方法三：
　　，
　　因为 ， 均为正实数， ，
　　所以   ，
　　即 .
　　18.（Ⅰ）由条件得， ，所以 ，
　　由勾股定理， ，所以 ，
　　所以  .
　　（Ⅱ）猜想： .
　　证明如下：
　　连接 延长交 于 点，连接 ，
　　因为 ， ，
　　点，所以 平面 ，又 平面 ，得 ，
　　平面 ， 平面 ，则 .
　　在直角三角形 中，由（Ⅰ）中结论， .
　　平面 ，则 ，又 平面 ，所以 ，
　　而 点， 平面 ，所以 平面 ， .
　　又 ，由（Ⅰ）中结论，得 .
　　所以 .
　　19.（Ⅰ） ， ， ， ，
　　的分布列为
　　15 20 25 30
　　所以  .
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过 的概率为 ，
　　依题意， ，
　　分布列为 ， ，
　　0 1 2 3 4 5
　　.
　　20.（Ⅰ）由散点图知， 与 具有的线性相关性较强.
　　（Ⅱ）由条件，得 ，
　　，所以 ，
　　又 ，得 ，
　　故 关于 的回归方程为 .
　　（Ⅲ）设年销售额为 元，令 ， ，
　　，
　　令 ，得 ；令 ，得 ，
　　则 在 单调递增，在 单调递减，在 取得最大值，
　　因此，定价为20元/ 时，年销售额的预报值最大.
　　21.（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ，
　　由 得 ， 得 ，所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
　　函数 有极小值 ，无极大值.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，当且仅当 时等号成立，
　　而 ，所以 ，即 ，所以 ，
　　要证明 ，只需证明 ，
　　而 ，故只要证明 ，即证 ，
　　又 ，所以只要证明 .
　　令 ， ， ，则 ，
　　所以 在 上单调递减，
　　，即 ，
　　所以证得 .
　　22.（Ⅰ）消去参数 ，曲线 的普通方程为 ，
　　即 ，把 ， 代入方程得
　　，所以 的极坐标方程为 .
　　直线 的直角坐标方程为 .
　　（Ⅱ）设 ， ，分别将 ， 代入 ，
　　得 ， ，
　　则 的面积为
　　.
　　23.（Ⅰ）当 时，不等式 ，即 ，
　　当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
　　当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以无解，
　　当 时，不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
　　综上可知，不等式 的解集为 .
　　（Ⅱ） 
　　.