2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练（课件+习题）专题22随机变量及其分布列（理）（全国通用）（2份打包）
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第一部分 一 22
一、解答题
1．(2014•安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；
(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
[分析] ①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．
②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束．
③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．
[解析] 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝1081，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P 59
29
1081
881
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.
[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：
1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
2°理清各事件之间的关系，列出关系式；
3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．
4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．
5．离散型随机变量的分布列的性质：
设离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
2．(2015•重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．
[解析] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有
P(A)＝C12C13C15C310＝14.
(2)X的可能取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝C38C310＝715，
P(X＝1)＝C12C28C310＝715，
P(X＝2)＝C22C18C310＝115
综上知，X的分布列为：
X 0 1 2
P 715
715
115
故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)
[方法点拨] 如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．
请练习下题：
一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．
[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.
[解析] X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.
(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时
P(X＝0)＝C19C112＝34.
(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品，
P(X＝1)＝C13C112×C19C111＝944.
(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品，
P(X＝2)＝C13C112×C12C111×C19C110＝9220.
当X＝3时，前3次将次品全部取出，
P(X＝3)＝C13C112×C12C111×C11C110＝1220.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 34
944
9220
1220
E(X)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.
3．(2014•石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款
(单位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，＋∞)
顾客人数 m 20 30 n 10
统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大
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